3.5. Обработка результатов совместных измерений

При совместных измерениях искомые значения величин находят решением системы уравнений, связывающей эти величины с непосредственно измеряемыми.

Предположим сначала, что искомые значения величин определяются в результате решения системы линейных уравнений:

(3.5.1)

где – искомые значения величин;

– измеряемые значения величин;

– известные значения величин.

Запишем систему уравнений (3.5.1) в виде

(3.5.2)

Предположим, что уравнения (3.5.2) являются точными, но значения получены с погрешностями. Пусть резуль­таты измерений величин равны  :

(3.5.3)

где – погрешность измерения величины .

Тогда

(3.5.4)

Очевидно, что при решении системы уравнений (3.5.2) вместо будут использоваться измеренные значения . В этом случае, если число измерений п больше числа неиз­вестных т (n > m), система уравнений (3.5.2) не имеет ре­шения, т.е. нет такого набора значений , кото­рые удовлетворяли бы всем п уравнениям системы. Поэто­му уравнения (3.5.2) называются условными уравнениями.

Относительно погрешности сделаем следующие допу­щения:

1) погрешность является нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожидани­ем и дисперсией ², одинаковой во всех измерениях;

2) погрешности отдельных измерений независимы. Из (3.5.4) следует, что величина будет иметь нормальное распределение с параметрами

(3.5.5)

Запишем плотность распределения величины :

(3.5.6)

Тогда функция правдоподобия

. (3.5.7)

Найдем оценки из условия максимума функ­ции правдоподобия. Прологарифмируем (3.5.7):

(3.5.8)

Условием максимума функции (3.5.8) является

(3.5.9)

или

(3.5.10)

Таким образом, условие (3.5.9) является требованием метода наименьших квадратов. Следовательно, в данном случае при нормальном распределении случайной погреш­ности оценки метода максимального правдоподобия и ме­тода наименьших квадратов совпадают.

Для нахождения значений оценок , удовлетворяющих (3.5.9), необходимо добиться равенства нулю всех частных производных от этой функции по . Отсюда получим:

(3.5.11)

Система уравнений (3.5.11) также является линейной от­носительно величин и называется системой нормальных уравнений. Число нормальных уравнений системы (3.5.11) всегда равно числу неизвестных величин, оценки которых находятся в результате решения этой системы.

Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных , получим стандартную запись системы нормальных уравне­ний:

(3.5.12)

В (3.5.12) x_j и l рассматриваются как n-мерные векторы с компонентами и соответственно.

Коэффициенты и свободные члены пред­ставляют собой скалярные произведения соответствующих векторов:

(3.5.13)

Тогда искомые оценки величин могут быть вычисле­ны из (3.5.12) методом определителей

(3.5.14)

где

Определитель получен заменой в определителе D j-го столбца столбцом свободных членов системы нормальных уравнений.

Полученные оценки являются состоятельными, несмещенными, а для нормального распределения погрешности и эффективными.

Используя те же экспериментальные данные, найдем оценку дисперсии случайной погрешности. Для этого вос­пользуемся формулой логарифма функции правдоподобия:

. (3.5.15)

Найдем оценку дисперсии ², обеспечивающую макси­мум (3.5.15):

(3.5.16)

Подставив вместо оценки , получим:

. (3.5.17)

Оценка S² является смещенной, а для устранения этой смещенности необходимо перейти к оценке

(3.5.18)

Оценим погрешности найденных значений величин . Оценки дисперсий значений можно вычислить, пользуясь формулой

(3.5.19)

где D – главный определитель системы нормальных урав­нений; – алгебраическое дополнение определителя D, получаемое путем удаления из определителя D j-й строки и j-го столбца; – оценка дисперсии погрешности прямых измерений.

Пример 3.5.1. В результате выполнения совместных измерений находятся параметры линейной зависимости

у = а₁ + а₂х. (3.5.20)

Система нормальных уравнений примет вид:

(3.5.21)

Преобразовав (3.5.20) получим:

(3.5.22)

где ; ; ; .

В результате решения (3.5.21) находим оценки

; (3.5.23)

Аналогично решается задача определения параметров полиноминальных зависимостей более высоких порядков.

Пример 3.5.2. Определить параметры a и b в линейной зависимости , а также случайные погрешности их измерения (систематические погрешности отсутствуют) по результатам 10 измерений, приведенным во 2-м и 3-м столбце табл. 3.5.1:

Таблица 3.5.1

№ измерения
1	0	2,2	0	0	1,949	-0,251	0,063
2	0,5	2,4	0,25	1,2	2,48175	0,08175	0,00668
3	1,0	3,0	1,0	3,0	3,0145	0,0145	0,00021
4	1,5	3,2	2,25	4,8	3,54725	0,34725	0,1206
5	2,0	3,9	4,0	7,8	4,08	0,18	0,0324
6	2,5	4,8	6,25	12,0	4,61275	-0,18725	0,035
7	3,0	4,9	9,0	14,7	5,1455	0,2455	0,0603
8	4,0	6,2	16,0	24,8	6,211	0,011	0,00012
9	5,0	7,3	25,0	36,5	7,2765	-0,0235	0,00055
10	6,0	8,1	36,0	48,6	8,342	0,242	0,0585
∑	25,5	46,0	99,75	153,4			0,37736

Решение. На основании примера 3.5.1. и приведенных данных обработки экспериментальных результатов запишем нормальные уравнения (3.5.22):

Используя (3.5.23), (3.5.18) и результаты вычисления в таблице 3.5.1, получаем искомые оценки

; ,

а также оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения измерения:

; .

В соответствии с (3.5.19) погрешности найденных значений величин и будут равны:

;

.

Пример 3.5.3. Зависимость электрического сопротивления композиционного материала от температуры выражается формулой . Для определения коэффициента  было проведено 13 равноточных измерений сопротивления при различной температуре (табл. 3.5.2). Используя метод наименьших квадратов, вычислить оценку коэффициента .

Таблица 3.5.2

i	ti, C	Ri, Ом
1	10	128	100	12800	10000	130,092	-2,09201	4,376513
2	12	140	144	20160	20736	143,2889	-3,28888	10,81672
3	15	170	225	38250	50625	167,5831	2,41689	5,841355
4	18	190	324	61560	104976	197,2761	-7,27606	52,94106
5	20	230	400	92000	160000	220,0706	9,929352	98,59202
6	25	290	625	181250	390625	287,5546	2,445374	5,979854
7	30	365	900	328500	810000	370,035	-5,03504	25,35166
8	35	475	1225	581875	1500625	467,5119	7,488101	56,07165
9	40	570	1600	912000	2560000	579,9852	-9,9852	99,70412
10	45	710	2025	1437750	4100625	707,4549	2,54507	6,47738
11	50	855	2500	2137500	6250000	849,9211	5,078895	25,79517
12	55	1010	3025	3055250	9150625	1007,384	2,616281	6,844925
13	60	1175	3600	4230000	12960000	1179,843	-4,84277	23,45245
∑		6308	16693	13088895	38068837			422,2449

Решение. Представим зависимость сопротивления от температуры в виде:

Измеренные значения сопротивления приведены во 2-м и 3-м столбцах таблицы.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Подставив в эту систему данные из последней строки табл. 3.5.2, получаем систему нормальных уравнений с числовыми коэффициентами:

Вычислив определители , получим

;

.

Используя (3.5.18), (3.5.19) и результаты обработки данных, приведенные в таблице 3.5.2, получаем среднюю квадратическую погрешность результатов измерения параметров и :

; ;

Так как было введено обозначение , то . Средняя квадратическая погрешность температурного коэффициента  может быть определена с помощью формулы (3.4.8) для косвенных измерений:

.

Отсюда

.

Таким образом результат измерения можем записать:

;

.