3.6. Обработка результатов неравноточных измерений

В практике измерений встречаются ситуации, когда оценки изме­ряемых величин должны быть получены путем обработки результатов измерений, выполненных в различных условиях: различными экспери­ментаторами, разными методами, с использованием различных средств измерений. При этом часто нет оснований для того, чтобы отдать ис­ключительное предпочтение какой-либо одной группе результатов, а остальные отбросить как не заслуживающие доверия. В то же время степень доверия тем или иным результатам может быть различна, на­пример, из-за различия в точностях примененных средств измерений. Таким образом, каждому используемому результату или группе ре­зультатов измерений необходимо приписать некоторый вес, характе­ризующий степень доверия этим результатам.

Веса могут устанавливаться субъективно, на основе мнения экс­периментатора или группы специалистов-экспертов, или объективно, на основе имеющихся данных о степени неопределенности тех или иных результатов. В последнем случае веса обычно устанавливают обрат­но пропорционально дисперсиям соответствующих погрешностей ре­зультатов измерений:

(3.6.1)

где – вес, соответствующий i-му результату или i-и группе резуль­татов; – вес, соответствующий отдельному ряду измерений; – дисперсия соответствующих результатов измерений; – const (например количество измерений в группе).

Величина с может быть установлена произвольно. Для удобства вычислений ее выбирают так, чтобы все были целыми числами, либо так, чтобы . Так как веса – безразмерные числа, то константа с имеет размерность дисперсии, поэтому далее будем обозначать ее . Тогда при установленных весах дисперсия i-го результата запи­шется в виде

(3.6.2)

Рассмотрим задачу обработки результатов прямых неравноточных измерений. Пусть даны результаты неравноточных измерений , которые независимы и имеют нормальное распределение с мате­матическим ожиданием а и дисперсиями , причем веса известны. Найдем оценки измеряемой величины а и дисперсии ².

Плотность распределения любого результата x_i

(3.6.3)

Соответствующая функция правдоподобия для всей совокупности результатов x_i имеет вид:

(3.6.4)

Максимум функции правдоподобия достигается при выполнении условия

(3.6.5)

Выражение (3.6.5) является условием метода наименьших квадра­тов при неравноточных измерениях. Из (3.6.5) следует

(3.6.6)

откуда

(3.6.7)

или, учитывая, что весовой коэффициент обратно пропорционален дисперсии

. (3.6.8)

Оценка называется средней взвешенной оценкой.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию оценки :

; (3.6.9)

(3.6.10)

Таким образом, оценка является несмещенной, а ее вес равен сумме весов усредняемых результатов.

Для вычисления оценки дисперсии ² прологарифмируем функцию правдоподобия (3.6.4):

(3.6.11)

Найдем оценку дисперсии ² из условия максимума функции (3.6.11):

(3.6.12)

откуда

(3.6.13)

Используя вместо а оценку х, получаем

(3.6.14)

Оценка является смещенной, а для ликвидации этой смещен­ности необходимо ввести поправочный множитель

(3.6.15)

При получении интервальных оценок для значений величин а и ² можно принять, что величина х распределена нормально с математическим ожиданием а и дисперсией . Отсюда следует, что дробь

будет распределена по закону Стьюдента с п– 1 степенями свободы. Аналогично дробь

распределена по закону ² с n-1 степенями свободы. В остальном правила построения соответствующих доверительных интервалов ана­логичны описанным в § 3.3.

Пример 3.6.1. Тремя коллективами экспериментаторов с помощью различных методов были получены следующие значения ускорения свободного падения: g₁ = (981,9190 ± 0,0014) см  с^-2; g₂ = (981,9215 ± 0,0016) см  с^-2; g₃ = (981,923 ± 0,002) см  с^-2. Определить значение ускорения свободного падения.

Решение. Весовые коэффициенты отдельных рядов измерений вычислим по (3.6.1):

;

;

.

Средняя взвешенная оценка в соответствии с (3.6.7) равна:

,

его среднее квадратическое отклонение, исходя из (3.6.1) можно определить как

Пример 3.6.2. Измерения образцовой меры длины, выполненные приборами разной точности, дали результаты, приведенные в таблице 3.6.1.

Определить среднее взвешенное отклонение размера от номинального значения и оценку среднего квадратического отклонения среднего взвешенного.

Решение. Преобразуем выражение (3.6.8), так как в задаче приведены средние квадратические результатов измерений а не средних сначений результатов измерений:

Таблица 3.6.1

Порядковый номер измерения	Отклонение от номинального размера l и среднее квадратическое отклонение результатов измерения , характерное для данного прибора, мкм
	Вертикальный оптиметр,	Машина типа Цейсс,	Машина типа Сип,	Миниметр с ценой деления 1 мкм,
1	11,3	10,8	9,8	10,4
2	–	11,1	10,7	11,2
3	–	10,9	–	10,1
4	–	–	–	9,9
Номера групп измерений i = 1, 2, …, m	i = 1	i = 2	i = 3	i = 4
Число измерений в группе ni	n1 = 1	n2 = 3	n3 = 2	n4 = 4

где i – порядковый номер группы измерений от 1 до m; – число измерений в i-ой группе; j – порядковый номер измерения в i-й группе. Подставляя экспериментальные значения из табл. 3.6.1, получим

Среднее квадратическое отклонение, исходя из (3.6.1) можно определить как