- •200106 «Информационно-измерительная техника и технологии»
- •Введение
- •1.2. Сигналы
- •1.3. Преобразование измерительных сигналов
- •1.4. Спектр периодических сигналов
- •1.5. Модуляция
- •1.5.1. Амплитудная модуляция
- •1.5.2. Частотная модуляция
- •1.5.3. Фазовая модуляция
- •1.5.4. Двукратные виды модуляции
- •1.6. Квантование
- •1.6.1. Квантование по уровню
- •1.6.2. Квантование по времени
- •1.6.3. Квантование по уровню и времени
- •1.7. Кодирование
- •1.7.1. Цифровые коды
- •1.7.2. Помехи
- •1.8. Модель канала
- •Раздел 2 измерительные каналы и их разделение
- •2.1. Канал связи и его характеристики
- •2.2. Согласование канала с источником информации
- •2.3. Линии связи для передачи измерительной информации
- •2.4. Структуры линий связи
- •2.5. Многоканальные системы для передачи измерительной информации
- •2.6. Погрешность систем с частотным разделением каналов
- •2.7. Погрешности систем с временным разделением каналов
- •Раздел 3 принципы обработки данных
- •3.1. Виды погрешностей
- •3.2. Обработка результатов измерений. Оценки измеряемой величины
- •3.3. Обработка результатов прямых равноточных измерений
- •3.4. Обработка результатов косвенных измерений
- •3.5. Обработка результатов совместных измерений
- •3.6. Обработка результатов неравноточных измерений
- •3.7. Проверка статистических гипотез
- •3.7.1. Проверка соответствия гипотезы и экспериментальных данных
- •3.7.2. Исключение резко отклоняющихся значений
- •3.8. Построение эмпирических распределений
- •3.9. Критерии согласия
- •3.9.1. Критерий согласия Пирсона
- •3.9.2. Критерий согласия Колмогорова
- •Раздел 4 планирование многофакторного эксперимента
- •4.1. Задачи планирования эксперимента
- •4.2. Пассивные эксперименты
- •4.3. Дисперсионный анализ
- •4.4. Регрессионный анализ
- •4.5. Активный эксперимент
- •4.6. Полный факторный эксперимент
- •4.7. Дробный факторный эксперимент
- •4.8. Устранение влияния временного дрейфа
- •4.9. Проведение факторного эксперимента и обработка его результатов
- •4.10. Оптимизация
- •4.11. Рандомизация
- •Раздел 5 введение в алгоритмическую теорию измерений
- •5.1. Вводные замечания
- •5.2. Развитие понятий числа и измерения величин
- •5.3. Теория шкал и алгоритмические измерения
- •5.4. Алгоритмы измерения в номинальной шкале, аддитивной и порядка
- •5.5. Моделирование цифровых алгоритмических измерений
- •5.6. Эквивалентность между фильтрацией и алгоритмическим измерением
- •5.7. Моделирование сигналов. Дискретизация
- •5.7.1. Модели дискретизации аналогового сигнала
- •5.7.2. Дискретизация с усреднением
- •5.7.3. Дискретизация сигналов конечной длительности
- •5.8. Цифровое представление информации
- •5.9. Системы счисления с иррациональными основаниями
- •5.9.1. Золотая пропорция
- •5.9.2. Числа Фибоначчи
- •5.9.4. Код золотой p-пропорции
- •5.10. Общий алгоритм метрологического кодирования
- •5.10.1. Алгоритм Стахова
- •5.10.2.Фибоначчиевы алгоритмы цифрового метрологического кодирования
- •Раздел 6 введение в информационную теорию измерений
- •6.1. Основные положения теории информации
- •6.1.1. Энтропия
- •6.1.2. Единицы измерения энтропии
- •6.1.3. Условная энтропия (энтропия помехи)
- •6.1.4. Суммирование нескольких погрешностей
- •6.1.5. Явление «краевой эффект». Приближенность информационных оценок каналов передачи информации
- •6.1.6. Основные положения теории информации для характеристики процесса измерения
- •6.2. Сущность измерения
- •6.2.1. Понятие натурального ряда однородных величин
- •6.2.2. Понятие шкалы реперов измеряемой величины
- •6.2.3. Измерение как сужение интервала неопределенности
- •6.3. Измерительные преобразования, функциональные шкалы, единицы измеряемой величины
- •6.3.1. Функциональная шкала измеряемой величины
- •6.3.2. Понятие единицы измерения
- •6.3.3. Метод построения измерительных устройств
- •6.4. Измерительные преобразования и преобразователи
- •6.5. Энтропийное значение погрешности
- •6.5.1. Математическое определение энтропийного значения погрешности
- •6.5.2. Эффективное значение погрешности
- •6.6. Сравнение энтропийного и среднеквадратического значений погрешности для плавных симметричных одномодальных законов распределения погрешностей
- •6.7. Энтропийное значение погрешности – основной критерий точности приборов и измерений
- •6.8. Определение энтропийного значения погрешности на практике
- •6.9. Суммирование погрешностей измерительных устройств
- •6.10. Статистическое суммирование погрешностей при наличии корреляции
- •6.11. Энтропийное значение результирующей погрешности
- •6.12. Суммирование погрешностей с равномерными законами распределения вероятностей
- •6.13. Суммирование погрешностей при равномерном и нормальном законах распределения составляющих результирующей погрешности
- •6.14. Суммирование погрешностей при произвольной степени корреляции и произвольных законах распределения вероятностей составляющих результирующей погрешности
- •И объемов (n) выборок
- •Интервала
- •Оглавление
Раздел 4 планирование многофакторного эксперимента
Решение большинства проблем науки и техники связано с проведением сложных и дорогостоящих экспериментов. Отсюда понятно значение методов оптимального планирования эксперимента, позволяющих в ряде случаев существенно сократить затраты времени и материальных средств на выполнение исследовательских работ.
Долгое время порядок проведения эксперимента целиком определялся личным опытом и интуицией исследователей. Первые попытки применить математические методы для оптимального планирования эксперимента были сделаны английским математиком Р. Фишером в начале 20-х годов. Особенно быстрыми темпами теория планирования эксперимента стала развиваться после 1951 г. в связи с появлением работ Д. Бокса и К. Уилсона.
Методы оптимального планирования эксперимента позволяют использовать математический аппарат не только на стадии обработки результатов измерений, как было раньше, но также и при подготовке и проведении опытов. Деятельность исследователей, пользующихся этими методами, становится логически более упорядоченной.
Метод многофакторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки.
Под математическим описанием процесса будем понимать систему уравнений, связывающих функции отклика с влияющими факторами. В простейшем случае это может быть одно уравнение. Часто математическое описание называют математической моделью.
С помощью математических методов оптимального планирования эксперимента можно получить математическую модель процесса даже при отсутствии сведений о его механизме. Это в ряде случаев бывает очень полезно.
Ценность математического описания заключается в том, что оно:
– во-первых, дает информацию о влиянии факторов;
– во-вторых, позволяет количественно определить значения функций отклика при заданном режиме ведения процесса;
– в-третьих, может служить основой для оптимизации.
4.1. Задачи планирования эксперимента
Планирование эксперимента включает в себя вопросы, направленные на повышение эффективности научных и экспериментальных исследований. Правильно спланированный эксперимент позволяет значительно повысить качество исследовательского труда, сократить сроки проведения эксперимента, снизить затраты, повысить достоверность выводов по результатам исследования. Целью планирования эксперимента является выбор из множества возможных планов проведения эксперимента одного, в некотором смысле наилучшего. Необходимость сравнения различных планов требует использования критерия сравнения или целевой функции, которые дали бы основание утверждать, что один эксперимент или план эксперимента лучше или хуже другого.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий проведение хорошего и плохого экспериментов при решении одной и той же задачи. Пусть необходимо определить массы трех объектов (а, b и с) с помощью некоторого массоизмерительного устройства. Традиционно экспериментатор стал бы взвешивать эти объекты по схеме, приведенной в табл. 4.1.1, где +1 означает наличие соответствующего объекта на весах, а -1 – его отсутствие.
Таблица 4.1.1
Номер опыта |
а |
b |
c |
Результат взвешивания |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
y0 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y1 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y2 |
4 |
-1 |
-1 |
+1 |
y3 |
Сначала выполняется холостое взвешивание для определения смещения нуля измерительного устройства, а затем по очереди взвешивается каждый из объектов. Масса каждого объекта оценивается по результатам двух опытов: того, в котором на весы был положен изучаемый объект и холостого, т.е.
Если положить, что случайные погрешности отдельных измерений независимы, дисперсию результатов взвешивания можно записать в следующем виде:
(4.1.1)
где – дисперсия каждого единичного измерения. Проведем тот же эксперимент по схеме, приведенной в табл. 4.1.2. Как и в предыдущем случае, в каждой строке таблицы заданы условия проведения одного опыта.
В первых трех опытах последовательно взвешиваются объекты а, b, с, а в последнем – все три объекта вместе. Легко установить, что масса каждого объекта должна вычисляться по формулам
Таблица 4.1.2
Номер опыта |
а |
b |
c |
Результат Взвешивания |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
y0 |
2 |
-1 |
+1 |
-1 |
y1 |
3 |
-1 |
-1 |
+1 |
y2 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y3 |
(4.1.2)
Числители в этих формулах получены путем умножения элементов последнего столбца на соответствующие элементы столбцов а, b, c. Найдем дисперсию погрешности взвешивания по новой схеме проведения эксперимента:
(4.1.3)
Аналогично находим
(4.1.4)
Очевидно, что при новой схеме взвешивания дисперсия результатов получается вдвое меньше, чем при традиционном методе, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта. Необходимо отметить, что второй план проведения эксперимента также исключает влияние смещения нуля массоизмерительной системы. Таким образом, используя в качестве критерия сравнения дисперсию случайной погрешности, можно утверждать, что второй план эксперимента лучше первого.
При традиционном взвешивании для того, чтобы получить результаты с той же точностью, что и по новой схеме, необходимо либо повторить дважды все опыты, вдвое увеличив продолжительность эксперимента, либо применить другую измерительную аппаратуру, создающую вдвое меньшую дисперсию, т.е. увеличить стоимость эксперимента.
Рассмотренный пример показывает, что эксперимент необходимо планировать, причем эффективность такого планирования обычно возрастает при увеличении числа измеряемых и варьируемых величин.
Основой теории планирования эксперимента является математическая статистика, которая применима для анализа эксперимента в тех случаях, когда его результаты могут рассматриваться как случайные величины или случайные процессы, что практически всегда имеет место.
Целью эксперимента является получение информации об исследуемом объекте, причем экспериментальные данные могут накапливаться либо путем пассивного наблюдения, либо с помощью активного эксперимента. При пассивном наблюдении экспериментатор получает информацию в условиях нормального функционирования объекта исследования. В активном эксперименте осуществляется искусственное воздействие на объект по заранее спланированной программе.
Активный эксперимент позволяет быстро вскрывать закономерности, находить оптимальные режимы функционирования объекта, но его обычно труднее осуществить. Вмешательство в технологический процесс может привести к снижению производительности и выпуску бракованной продукции. Бывают ситуации, когда активный эксперимент вообще невозможен (например, в астрономических наблюдениях). Преимущества активного эксперимента, позволяющего применять наиболее целесообразно составленные планы, достаточно очевидны.
Объект исследования можно представить структурной схемой, приведенной на рис. 4.1.1, на которой показаны следующие группы параметров:
Рис. 4.1.1. Структурная схема объекта
1) управляющие (входные) xj (j = 1, 2, ..., k);
2) параметры состояния (выходные) уr (r = 1, 2, ..., );
3) возмущающие воздействия wl (l = 1, 2, ..., р).
Управляющие параметры xj представляют собой независимые переменные, которые можно изменять с целью управления выходными параметрами объекта. К параметрам состояния уr относится совокупность контролируемых или вычисляемых параметров, характеризующих состояние объекта. Возмущающие воздействия wl в общем случае не поддаются контролю и проявляют себя как случайные величины или функции времени. Наличие возмущающих воздействий приводит к тому, что зависимость выходных параметров объекта от входных становится неоднозначной.
Одной из основных задач эксперимента является выявление взаимосвязей между входными и выходными параметрами объекта и представление их в количественной форме в виде математической модели. Такая модель является математическим отображением наиболее существенных взаимосвязей между параметрами объекта. Она представляет собой совокупность уравнений, условий и алгоритмических правил и позволяет получить информацию о процессах, протекающих в объекте, рассчитывать системы, т.е. анализировать и проектировать их, а также получить информацию, которая может быть использована для управления моделируемым объектом с целью поиска оптимальных условий.
Входные параметры, которые оказывают влияние на объект и могут быть измерены, называют факторами. Так, например, при исследовании измерительного преобразователя с целью получения его математической модели в качестве факторов могут выступать измеряемая величина, температура окружающей среды, напряжение питания и т.п.
Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента. Она может быть непрерывной или дискретной, причем при непрерывной области обычно производят ее искусственную дискретизацию. Очевидно, что при планировании активного эксперимента факторы должны быть управляемыми и независимыми.
Каждую конкретную комбинацию факторов можно рассматривать как точку в многомерном факторном пространстве. В многомерном факторном пространстве можно построить область возможных комбинаций факторов, которую называют областью возможных (допустимых) планов эксперимента.
При планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных условий в качестве единственной выходной величины рассматривается критерий оптимальности (целевая функция), зависящий от входных параметров объекта. Эту функцию рассматривают как отклик объекта на указанную комбинацию факторов и называют также функцией отклика. Геометрический образ в факторном пространстве, соответствующий функции отклика, называется поверхностью отклика.
В общем случае планирование и организация эксперимента включают в себя следующие последовательно выполняемые этапы:
1) постановка задачи (определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и средств, установление типа задачи);
2) сбор априорной информации (изучение литературы, опрос специалистов и т.п.);
3) выбор способа решения и стратегии его реализации (установление типа модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление выходных параметров, выбор целевых функций, создание необходимых нестандартных технических средств, формулировка статистических задач, выбор или разработка алгоритмов и программ обработки экспериментальных данных).