Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Текст пособия издание 2.docx
Скачиваний:
63
Добавлен:
11.11.2019
Размер:
3.55 Mб
Скачать

3.3. Обработка результатов прямых равноточных измерений

Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено п аналогичных измерений, результаты которых равны x1, х2, ...,хп. Каждый из результатов хi подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют результатом наблюдения.

Результатом измерения является оценка значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений Предположим, что:

1) погрешность является случайной величиной с нормальным законом распределения;

2) математическое ожидание погрешности М[ ] = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность;

3) погрешность имеет дисперсию , одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

4) погрешности отдельных наблюдений независимы.

Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а, сле­довательно, какие бы законы распределения ни имели от­дельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному.

Тогда плотность распределения любого результата xi запишется в виде

. (3.3.1)

Так как результаты отдельных наблюдений независи­мы, то плотность распределения системы случайных величин x1, х2, ...,хп

(3.3.2)

Плотность распределения (3.3.2) системы случайных ве­личин представляет собой функцию правдоподобия, ко­торую обозначим

(3.3.3)

Использовав метод максимального правдоподобия, най­дем оценку таким образом, чтобы при а = достигалось

(3.3.4)

Из (3.3.3) следует, что для выполнения (3.3.4) необходимо, чтобы

(3.3.5)

Условие (3.3.5) является формулировкой критерия наи­меньших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим . Тогда оценка будет найдена из условия

(3.3.6)

Отсюда получим

, (3.3.7)

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение ре­зультатов наблюдений.

Из (3.3.7) следует, что оценка является случайной ве­личиной с нормальным законом распределения, причем

. (3.3.8)

Таким образом, оценка имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в п раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений ха­рактеризуется значением среднего квадратического откло­нения погрешности, поэтому из (3.3.8) следует, что при ус­реднении результатов п наблюдений случайную погрешность уменьшают раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов п наблюдений снижается при наличии корреляции между этими резуль­татами. Дисперсия оценки для коррелированных резуль­татов наблюдений

,

где – коэффициент корреляции между результатами i-го и j-го наблюдений.

Полученная оценка является состоятельной, не­смещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить зна­чение дисперсии (или среднего квадратического отклоне­ния) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия (3.3.4), представив ее в виде

(3.3.9)

На основе метода максимального правдоподобия най­дем оценку 2 из условия

(3.3.10)

Для упрощения вычислений прологарифмируем (3.3.9):

(3.3.11)

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения 2, при которых функции (3.3.9) и (3.3.11) достига­ют экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

. (3.3.12)

Продифференцировав (3.3.11) по 2, получим

(3.3.13)

Отсюда найдем оценку, которую обозначим 2:

. (3.3.14)

Так как истинное значение а неизвестно, то восполь­зуемся его оценкой а соответствующую оценку диспер­сии обозначим S2:

. (3.3.15)

Преобразуем (3.3.15):

. (3.3.16)

Математическое ожидание оценки

(3.3.17)

Таким образом, оценка является смещенной оценкой дисперсии 2, однако

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (3.3.17) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель . Полученную несмещенную оценку обозначим :

(3.3.18)

Используя (3.3.16), можно записать другую более удобную для вычислений формулу для расчета оценки , равносильную (3.3.18):

(3.3.19)

Полученные оценки значений измеряемой вели­чины и дисперсии погрешности являются точечными оцен­ками. Оценим эти величины с помощью доверительных интервалов. Для этого сформируем общий подход к интервальному оцениванию параметров.

Пусть необходимо получить доверительный интервал для некоторого параметра , для которого вычислена точечная оценка и известна плотность распределения этой оценки f ( ) (рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1. Плотность распределения оценки

Пусть задана доверительная вероятность Р. Построить доверительный интервал – значит найти его границы и , причем такие, что

(3.3.20)

Границы доверительного интервала зависят не только от оценки измеряемой величины, но и от оценки среднего квадратического отклонения по­грешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случай­ной величины

. (3.3.21)

При нормальном распределении погрешности величина распределена по закону Стьюдента с п–1 степенями свободы (t-распределение). Распределение Стьюдента за­висит от числа опытов п и при п   асимптотически при­ближается к нормальному. В таблице «Процентные точки распределения Стьюдента» приведены значения t для величины t, имеющей распреде­ление Стьюдента с k = n–1 степенями свободы, определяе­мые из условия

, (3.3.22)

где – плотность t-распределения. Полагая (где – доверительная вероятность) и зная , по таблице находят границу .

Подставив в (3.3.21) граничные значения , получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

(3.3.23)

или

(3.3.24)

Построим доверительный интервал для дисперсии 2 случайной погрешности. Доказано, что при нормальном законе распределения случайной погрешности величина

(3.3.25)

распределена по закону с n–1 степенями свободы. В таблице «Процентные точки хи-квадрат распределения» приведены значения для величины , имеющей 2-распределение с k = n–1 степеня­ми свободы, определяемые из условия

(3.3.26)

где – плотность 2-распределения. Так как это распределение несимметрично, то по таблице необходимо найти значения верхней и нижней границ интервала, соответствующие вероятностям и , где Р – доверительная вероятность.

Подставив в (3.3.26) вместо и найденные граничные зна­чения и , получим границы доверительного интерва­ла для дисперсии:

(3.3.27)

или

. (3.3.28)

Пример 3.3.1. Произведено 15 измерений емкости конденсатора с номинальным значением 1000 пФ.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

Сi

1001,3

1001,0

1001,2

1001,1

1001,4

1001,1

1001,5

1001,2

i

9

10

11

12

13

14

15

Сi

1001,3

1001,1

1000,8

1001,2

1001,0

1001,2

1000,3

Предположим, что систематическая погрешность изме­рений пренебрежимо мала, а случайная распределена нор­мально.

Точечная оценка значения емкости конденсатора

Точечная несмещенная оценка дисперсии

Точечная оценка среднего квадратического отклонения

Определим интервальные оценки для истинного значе­ния емкости С и дисперсии 2 при доверительной вероятно­сти Р = 0,95,

По таблице t-распределения для вероятности и числа степеней свободы k = n – 1 = 15 – 1 = 14 находим t =2,145.

Доверительный интервал для С равен:

или

1000,961 < C < 1001,265.

Построим доверительный интервал для 2. Для этого по таблице 2-распределения для вероятностей

,

и числа степеней свободы k = n – 1 = 14 находим

,

.

Доверительный интервал для 2 равен

или

0,0399 < 2 < 0,1853.

Соответственно доверительный интервал для  равен

0,200<  <0,4305 пФ.

Округлив вычисленные значения, получим: оценка С емкости конденсатора равна 1001,1 пФ; с доверительной вероятностью Р = 0,95 истинное значение емкости конден­сатора лежит в пределах

1001,0 < C < 1001,3 пФ,

или в более компактной записи

С = (1001,15 ±0,15) пФ.

Случайная погрешность измерений характеризуется оценкой среднего квадратического отклонения , а его истинное значение с вероятностью Р = 0,95 лежит в пределах от 0,2 до 0,4 пФ.

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии случайной погрешности оптимальны при нормальном распределении погрешности. Эти же формулы используют и в тех случаях, когда закон распределения погрешности близок к нормальному. В то же время в прак­тике встречаются ситуации, когда закон распределения по­грешности существенно отличается от нормального. Если этот закон известен, то, применив описанную методику, можно получить необходимые оценки, оптимальные по кри­терию максимального правдоподобия.

Однако чаще всего, если распределение существенно отличается от нормального, закон распределения с доста­точной точностью установить не удается. В этом случае то­чечные оценки обычно вычисляют по формулам (3.3.7), (3.3.15) с учетом того, что их эффективность несколько хуже эффективности оптимальных оценок.

Для грубой оценки снизу доверительной вероятности Р при заданном симметричном доверительном интервале можно воспользоваться неравенством Чебышева

(3.3.29)

Тогда для истинного значения измеряемой величины можно построить доверительный интервал в виде

(3.3.30)

где

.

При этом следует учитывать, что по (3.3.30) определяет­ся верхняя граница для размера доверительного интервала.