4.7. Дробный факторный эксперимент

С увеличением количества факторов резко возрастает количество опытов полного факторного эксперимента. Однако для нахождения коэффициентов регрессии не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить – объем экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробных реплик. Очевидно, что при этом матрица планирования должна сохранить свои основ­ные четыре свойства.

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения математического описания процесса используется определенная часть полного факторного эксперимента: 1/2, 1/4 и т.д. Эти системы опытов называются дробными репликами.

Рассмотрим полный факторный экспе­римент 2². Матрица планирования приведена в табл. 4.7.1.

Таблица 4.7.1

Номер опыта					у
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	+1

Пользуясь таким планированием, можно вычислить, как было показано выше, четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде модели

(4.7.1)

Если имеются основания считать, что в выбранных ин­тервалах варьирования процесс может быть описан линей­ной моделью, то достаточно определить три коэффициента: , и . Остается одна степень свободы. Используем ее для минимизации числа опытов. При линейном приближе­нии и вектор-столбец можно использовать для нового фактора . Посмотрим, каковы будут оценки коэффициентов.

Оценки смешиваются в связи с тем, что вектор-столбец совпадает с вектор-столбцом , а вектор-столбец с ; вектор-столбец с . Это легко проверить по матрице планирования, приведенной в табл. 4.7.1.

Таким образом, получим:

(4.7.2)

В связи с тем, что рассматривается линейная мо­дель, то все парные взаимодействия незна­чимы и можно полагать, что оценки , , достоверны.

Таким образом, вместо восьми опытов для изучения трех факторов оказывается достаточным по­ставить только четыре опыта. При этом матрица планиро­вания не теряет своих основных свойств (ортогональности, ротатабельности и т.п.).

Изложенное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, новому фактору необходимо при­своить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значения нового фактора в условиях опытов определяются знаками этого столбца.

Расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности математического описания в данном случае производятся так же, как и при полном факторном экспе­рименте.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, экспериментатор пользуется половиной полного факторного эксперимента 2³, или «полурепликой». Если х₃ приравнять к , то можно получить вторую половину матрицы 2³, В этом случае

(4.7.3)

При реализации обеих полуреплик можно получить раз­дельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаи­модействия, как и в полном факторном эксперименте 2³. Объединение этих двух полуреплик и есть полный фактор­ный эксперимент 2³.

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного пла­нирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования – четвертьрепликой от 2⁵. В последнем случае уже два линей­ных эффекта приравниваются к эффектам взаимодей­ствия.

Для обозначения дробных реплик, в которых С линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2^k – c. Так, полуреп­лика от 2⁶ запишется в виде 2^6 – 1, а четвертьреплика от 2⁵ – 2^5 – 2 (табл. 4.7.2).

Таблица 4.7.2

Число факторов	Дробная реплика	Условное обозначение	Число опытов
			для дробной реплики	для ПФЭ
3	1/2-реплика от 23	23–1	4	8
4	1/2-реплика от 24	24–1	8	16
5	1/4-реплика от 25	25–2	8	32
6	1/8-реплика от 26	26–3	8	64
7	1/16-реплика от 27	27–4	8	128
5	1/2-реплика от 25	25–1	16	32
6	1/4-реплика от 26	26–2	16	64
7	1/8-реплика от 27	27–3	16	128
8	1/16-реплика от 28	28–4	16	256

В реальных условиях экспериментатор может не иметь твердой уверенности в отсутствии того или иного взаимодействия факторов. В этом случае необходимо знать, когда и какие эффекты определяются совместно, т.е. определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого используют понятия «определяющие контрасты» и «генерирующие соотношения».

При построении полуреплик 2^3 – 1 существуют всего две возможности: приравнять х₃ к х₁х₂ или к - х₁х₂ (минус х₁х₂). Поэтому есть только две полуреплики 2^3 – 1 (табл. 4.7.3).

Таблица 4.7.3

Номер опыта	I
1	-1	-1	+1	+1
2	+1	-1	-1	+1
3	-1	+1	-1	+1
4	+1	+1	+1	+1
Номер опыта	II
1	-1	-1	-1	-1
2	+1	-1	+1	-1
3	-1	+1	+1	-1
4	+1	+1	-1	-1

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняет­ся соотношение а матрицы II – - . Сим­волическое обозначение произведения столбцов, равного + 1 или -1, называется определяющим контрастом. Конт­раст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, обе части оп­ределяющего контраста следует умножить на столбец, со­ответствующий данному эффекту. Так, если , то для х₁ имеем:

(4.7.4)

так как всегда .

Для х₂ находим:

(4.7.5)

для х₃

(4.7.6)

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

(4.7.7)

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III. Разрешающая способ­ность равна наибольшему числу факторов в определяющем контрасте.

При выборе полуреплики 2^4–1 возможно восемь решений:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

₄₎ 8)

Разрешающая способность этих полуреплик различна. Так, реплики 16 имеют по три фактора в определяющем контрасте, а 7  8 – по четыре. Реплики 7 и 8 имеют макси­мальную разрешающую способность и называются главными. Разрешающая способность будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка.

При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как трой­ные взаимодействия обычно менее существенны, чем пар­ные. Если имеется информация об эффектах взаимодейст­вия, то она должна использоваться при выборе реплики.

Реплики, в которых нет ни одного основного эффекта, смешанного с другим основным эффектом или парным вза­имодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, носят название планов с разрешающей способ­ностью IV (по наибольшему числу факторов в определяю­щем контрасте).