6.12. Суммирование погрешностей с равномерными законами распределения вероятностей

Пусть рассматриваемое измерительное устройство состоит всего из двух последовательных измерительных преобразователей. При этом погрешность каждого из преобразователей имеет равномерное распределение шириной и соответственно. Задача состоит в определении суммарной погрешности такого устройства и ее зависимости от соотношения составляющих.

Распределение вероятностей каждой из составляющих погрешности определяется условиями:

(6.12.1)

(6.12.2)

Композиция этих распределений, т.е. закон распределения резуль­тирующей погрешности прибора в целом, в общем случае является трапецеидальной, эволюционирующей от прямоугольника (при d₂ << d₁) до треугольника (при d₂=d₁) и вновь до прямоугольника (при d₂ >> d₁). Этот закон распределения при d₂  d₁ может быть записан по участкам:

(6.12.3)

Энтропия суммарного закона распределения погрешности

(6.12.4)

Вычисление этого интеграла приводит к выражению

(6.12.5)

Отсюда энтропийное значение погрешности результата измерения получается равным

(6.12.6)

Дисперсии составляющих погрешности при равномерном законе распределения равны соответственно

и . (6.12.7)

Среднеквадратическая погрешность результата измерения

. (6.12.8)

Согласно приведенным соотношениям, энтропийный коэффициент результирующего распределения получает значение, определяемое только отношением составляющих погрешности , и выра­жается через это отношение при как

(6.12.9)

т.е. как

(6.12.10)

где – энтропийный коэффициент суммируемых равномерных распределений, a – некоторый весовой коэффициент, являющийся функцией только соотношения составляющих , так как отношение максимальных погрешностей при равномерных распределениях можно заменить отношением среднеквадратических погрешностей тех же распределений.

При , т.е. при отсутствии второй из составляющих погрешности ( ), коэффициент результирующего распределения, естественно, равен . При возрастании веса второй составляющей энтропийный коэффициент композиции (трапецеидального распределения) увеличивается и при и (треугольное распределение) достигает максимума, равного , а при дальнейшем возрастании вновь стремится к .

Таким образом, результирующая энтропийная погрешность рассматриваемого прибора складывается из составляющих и согласно соотношению

(6.12.11)

где при и при .

6.13. Суммирование погрешностей при равномерном и нормальном законах распределения составляющих результирующей погрешности

Если одна составляющая погрешность распределена равномерно, а другая – нормально, то строгое решение задачи о суммировании погрешностей осложняется. Суммарный закон распределения образуется из равномерного и нормального законов. Он представляет собой примерно равномерную полосу в средней части и быстро спадает по краям (рис. 6.13.1). Плотность распределения суммарного закона вероятностей выражается как

(6.13.1)

Рис. 6.13.1. Композиция суммарного закона распределения

Так как функция Лапласа не может быть выражена комбинацией элементарных функций, то дальнейший анализ полученного закона распределения можно вести только численными или приближенными методами.

Выражение (6.12.10) найдено для энтропийного коэффициента для случая композиции равномерного распределения с равномерным. Рассматриваемый случай отличается тем, что к тому же самому равномерному распределению добавляется не равномерное, а нормальное распределение. Так как энтропия нормального распределения больше энтропии равномерного, то отличие получаемой композиции должно состоять в том, что при той же относительной доле добавляемого распределения ее энтропийный коэффициент должен быть всегда больше, чем у композиции двух равномерных распределений.

При суммировании погрешности с равномерным распределением и погрешности с нормальным распределением рассматриваются относительные веса нормальной

(6.13.2)

и равномерной

(6.13.3)

составляющих.

Величины и называются относительным содержанием той и другой составляющей. Тогда

(6.13.4)

Рассмотрим случай, когда вначале имеется только одна равномерно распределенная составляющая, т.е. , а и . При этих условиях энтропийный коэффициент, естественно, равен . Если бы добавляемая составляющая погрешности имела также равномерное рас­пределение, то кривая для композиции сначала возрастала бы от до , а затем вновь убывала до 1,73. При добавлении же составляющей с нормальным распределением энтропийный коэффициент может только возрастать, оставаясь выше кривой и достигая при значения . Во всех промежуточных точ­ках значение К может быть только ниже 2,07, так как это значение энтропийного коэффициента соответствует только чисто нормальному распределению. Таким образом, вся область, в которой может проходить искомая зависимость композиции равномерного и нормального распределений, ограничена чрезвычайно узкими пределами. Так, в наиболее неопределенной точке при эти пределы равны 2,02 и 2,07.

Принимая допущение, что кривая не имеет перегибов, потребуем, чтобы вначале она совпадала с кривой ( ), для которой функциональная зависимость была получена выше в виде

(6.13.5)

Учитывая, что , а, следовательно, будем искать функцию в виде

(6.13.6)

Из условия, что при искомая функция должна плавно приходить в точку , получаем . Отсюда для определения значений композиции нормального и равномерного распределений во всем диапазоне значений от 0 до 1 и, следовательно, отношений от нуля до бесконечности имеем окончательно следующее соотношение:

(6.13.7)

Рассмотрим пример суммирования погрешностей измерительного устройства, состоящего из предварительного аналогового канала преобразования с нормальным распределением погрешности и с и последующего цифратора с шагом квантования . Пусть Х₂ = 100 единиц, число областей квантования п изменяется от 1 до 10000, а интервал неопределенности предварительного канала , что при нормальном распределении, т.е. при , соответствует .

Результирующая неопределенность, вносимая таким измерительным устройством, согласно полученным соотношениям, равна

(6.13.8)