3.9.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова-Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова-Смирнова уместно применять в тех случаях, когда нужно проверить, подчиняется ли наблюдаемая случайная величина некоторому закону распределения, известному с точностью до параметров. Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения и соответствую­щей теоретической функцией распределения (рис. 3.9.1):

Рис. 3.9.1. Проверка согла­сия по критерию Колмогорова

(3.9.4)

Величина определяется по формулам:

Колмогоров показал, что какова бы ни была функция распре­деления F(х) непрерывной случайной величины х, при k   вероятность сохранения условия

(3.9.5)

стремится к пределу

(3.9.6)

Значения вероятности , подсчитанные по формуле (3.9.6), представлены в табл. 3.9.1.

Таблица 3.9.1

	P()		P()		P()		P()
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0,964	0,6 0,7 0,8 0,9 1,0	0,864 0,711 0,544 0,393 0,270	1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	0,178 0,112 0,068 0,040 0,022	1,6 1,7 1,8 1,9 2,0	0,012 0,006 0,003 0,002 0,001

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1) строят статистическую функцию распределения и предполагае­мую теоретическую функцию распределения ;

2) определяют максимум D_n модуля разности между этими распределениями;

3) определяют величину и по табл. 3.9.1 находят веро­ятность P().

Величина P() есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между и будет не меньше, чем фактически наблюдаемое. Если эта вероятность весьма мала, то гипотезу Н следует отвергнуть как неправдоподоб­ную; при сравнительно больших ее можно считать совместной с опытными данными.

Пример 3.9.3. Дана выборка объемом n = 10 , извлечённая из генеральной совокупности X:

X	2	4	6	8	10	12
mi	1	2	2	2	2	1

При уровне значимости q = 0,01 проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности X в интервале (2; 12). Гипотетическая функция распределения

Решение. По данным выборки найдем и во всех точках , и оценим . Результаты вычислений сведем в таблицу

i		mi
1	2	1	0,0	0,0	0
2	4	2	0,1	0,2	0,1
3	6	2	0,3	0,4	0,1
4	8	2	0,5	0,6	0,1
5	10	2	0,7	0,8	0,1
6	12	1	0,9	1,0	0,1

Вычисляем:

.

Зная , по табл. 3.9.1 находим что , следовательно, предположение о равномерном распределении генеральной совокупности не отвергается.

Достоинство критерия Колмогорова в отличие от критерия ² состоит в том, что он достаточно прост, а недостаток – в том, что этот критерий можно применять, когда функция распределения F(х) известна полностью (т.е. известны не только вид распределе­ния, но и входящие в него параметры), что сравнительно редко встречается на практике. Для критерия Пирсона этот недостаток отсутствует, так как он учитывается соответствующим изменением числа степеней свободы распределения ².