6.14. Суммирование погрешностей при произвольной степени корреляции и произвольных законах распределения вероятностей составляющих результирующей погрешности
Крайним случаем суммирования погрешностей является случай суммирования полностью коррелированных погрешностей. В этом случае законы распределения суммируемых погрешностей вследствие их полной корреляции совпадают между собой. Распределение суммарной погрешности подчиняется тому же самому закону. Поэтому она определяется как
(6.14.1)
По мере уменьшения
корреляции суммарная погрешность
становится меньше
,
и это уменьшение зависит от вида законов
распределения суммируемых и результирующей
погрешностей согласно выражениям
(6.11.3), (6.12.11) и (6.13.8).
Наименьшее значение погрешности получается в случае суммирования независимых погрешностей, распределенных по нормальному закону. Для этого случая справедливо соотношение
(6.14.2)
Оно представляет собой другой крайний случай.
Зависимость числа различимых градаций А1 для первого случая и А2 для второго от соотношения двух суммируемых составляющих приведена в табл. 6.14.1. По данным этой таблицы на рис. 6.14.1 изображены кривые зависимости результирующего значения А от соотношения составляющих погрешности. Кривая 1 соответствует арифметическому суммированию погрешностей, а кривая 2 – геометрическому.
Кривая 3 на рис. 6.14.1 считается средним, наиболее типичным случаем суммирования составляющих погрешностей измерительных устройств. Кривые же 1 и 2, соответствующие арифметическому и геометрическому суммированиям погрешностей, являются границами области, в которой будут проходить кривые значений А при любых произвольных законах распределения вероятностей и различной степени корреляционной связи составляющих погрешности. Так, например, при суммировании двух независимых составляющих, одна из которых распределена нормально, а другая – равномерно, кривая числа градаций А (кривая 4) вначале совпадает с кривой 3, а затем плавно переходит в кривую 2.
Для оценки величины
допускаемых ошибок при арифметическом
или геометрическом суммировании
составляющих в последних столбцах
табл. 6.14.1 приведены относительные
погрешности определения значений А
(в процентах)
для граничных кривых 1
и 2
относительно
средней кривой 3.
Видно, что
эти погрешности противоположны по
знаку, а по абсолютной величине примерно
одинаковы и достигают максимума,
составляющего 17 %, при равенстве обеих
суммируемых составляющих. С первого
взгляда напрашивается вывод о том, что
вопрос об учете корреляции и законов
распределения вероятностей при
суммировании погрешностей не заслуживает
внимания, так как максимальное отклонение
кривых 1 или
2 от
кривой 3
составляет
всего ±17%, т.е. допускаемая ошибка в
значении определяемой суммарной
погрешности не превосходит
ее величины.
Таблица 6.14.1
|
|
А1 |
|
А2 |
|
|
100 |
101 |
0,89 |
100 |
1 |
0 |
-1 |
50 |
51 |
1,96 |
50 |
2 |
+2 |
-1 |
20 |
21 |
4,75 |
20 |
5 |
+2 |
-3 |
10 |
11 |
9,09 |
10 |
10 |
+5 |
-4,3 |
5 |
6 |
16,7 |
5,1 |
19,6 |
+9 |
-7,2 |
2 |
3 |
33,3 |
2,24 |
44,6 |
+14,3 |
-14,5 |
1 |
2 |
50 |
1,41 |
70,7 |
+16,8 |
-17,3 |
0,5 |
1,5 |
67 |
1,12 |
89,5 |
+14,8 |
-14 |
0,2 |
1,2 |
83 |
1,02 |
98 |
+9 |
-7,8 |
0,1 |
1,1 |
91 |
1,005 |
99,5 |
+4,7 |
-4,2 |
0,05 |
1,05 |
95 |
1,00 |
100 |
+2,6 |
-2,5 |
0,02 |
1,02 |
98 |
1,00 |
100 |
+1 |
-1 |
0,01 |
1,01 |
99 |
1,00 |
100 |
0 |
-1 |
,
%
,
%
Рис. 6.14.1. Зависимости результирующего значения А от соотношения
составляющих погрешности
В действительности это не так. Во-первых, указанная ошибка при суммировании двух составляющих вычислена относительно среднего, т.е. кривой 3 рис. 6.14.1. Если же эту ошибку определять относительно простого арифметического суммирования, то она при суммировании двух составляющих может достигать 41%, т.е. почти половины определяемой погрешности.
Во-вторых, при
суммировании большого числа составляющих
ошибка результата увеличивается с
ростом числа этих составляющих. Например,
при суммировании примерно одинаковых
п составляющих
относительная ошибка при арифметическом
суммировании по сравнению с ошибкой
при геометрическом суммировании
возрастает
раз.
Таким образом,
если при суммировании всего двух
составляющих ошибка в определении
результирующей погрешности может
достигать
ее величины, то при суммировании 1020
составляющих результирующая погрешность
может быть завышена в 24
раза, а при суммировании 50 составляющих
– в 37
раз.
Поэтому в настоящее время в подавляющем большинстве случаев оценка измерительных систем и приборов производится путем арифметического сложения максимальных значений всех погрешностей. Это приводит к неправильной их оценке, отличающейся от действительной от 2 до 7 раз, и тем более неправильной, чем сложнее рассматриваемое устройство. Поэтому при анализе сложных измерительных устройств вопрос об учете корреляционных связей и законов распределения вероятностей составляющих действительно имеет существенное значение.
Формула (6.11.3) для суммирования независимых составляющих погрешности с учетом энтропийных коэффициентов каждой из составляющих и суммарного распределения решает этот вопрос для любых законов распределения и любого числа составляющих.
Используя метод, основанный на исходных положениях теории информации, можно всегда произвести достаточно точное суммирование составляющих и определить действительное энтропийное значение результирующей погрешности измерительного устройства, не прибегая к грубейшему методу арифметического сложения максимальных значений составляющих.
ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П. 1. Процентные точки распределения Стьюдента
|
|||||||||||||
k |
Значения t,
удовлетворяющие равенству
|
||||||||||||
|
0,45 |
0,4 |
0,35 |
0,3 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,005 |
0,0005 |
1 |
0,158 |
0,325 |
0,510 |
0,727 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,078 |
6,314 |
12,706 |
31,821 |
63,657 |
636,619 |
2 |
0,142 |
0,289 |
0,445 |
0,617 |
0,816 |
1,061 |
1,356 |
1,886 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9,965 |
31,598 |
3 |
0,137 |
0,277 |
0,424 |
0,584 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,353 |
3,181 |
4,541 |
5,841 |
12,941 |
4 |
0,134 |
0,271 |
0,414 |
0,569 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
8,610 |
5 |
0,132 |
0,267 |
0,408 |
0,559 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
6,869 |
6 |
0,131 |
0,265 |
0,404 |
0,553 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,959 |
7 |
0,130 |
0,263 |
0,402 |
0,549 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
5,405 |
8 |
0,130 |
0,262 |
0,399 |
0,546 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1.860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
5,041 |
9 |
0,129 |
0,261 |
0,398 |
0,543 |
0,703 |
0,883 |
1,100 |
1,383 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,781 |
10 |
0,129 |
0,260 |
0,397 |
0,542 |
0,700 |
0,879 |
1,093 |
1,372 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,587 |
12 |
0,128 |
0,259 |
0,395 |
0,539 |
0,695 |
0,873 |
1,083 |
1,356 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
4,318 |
14 |
0,128 |
0,258 |
0,393 |
0,537 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,345 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
4,140 |
16 |
0,128 |
0,258 |
0,392 |
0,535 |
0,690 |
0,865 |
1,071 |
1,337 |
1,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
4,015 |
18 |
0,127 |
0,257 |
0,392 |
0,534 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,330 |
1,734 |
2,101 |
2,552 |
2,878 |
3,922 |
20 |
0,127 |
0,257 |
0,391 |
0,533 |
0,687 |
0,860 |
1,064 |
1,325 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,850 |
25 |
0,127 |
0,256 |
0,390 |
0,531 |
0,684 |
0,856 |
1,058 |
1,316 |
1,708 |
2,060 |
2,485 |
2,787 |
3,725 |
30 |
0,126 |
0,256 |
0,389 |
0,530 |
0,683 |
0,854 |
1,055 |
1,310 |
1,697 |
2,042 |
2,457 |
2,750 |
3,646 |
60 |
0,126 |
0,254 |
0,387 |
0,527 |
0,679 |
0,848 |
1,046 |
1,296 |
1,671 |
2,000 |
2,390 |
2,660 |
3,460 |
|
0,126 |
0,253 |
0,385 |
0,524 |
0,674 |
0,842 |
1,036 |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,291 |
при различных значениях
Таблица
П. 2. Процентные точки
-распределения
k |
Значения
|
|||||||||
0,999 |
0,995 |
0,99 |
0,98 |
0,975 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,75 |
0,70 |
|
1 |
0,000002 |
0,00004 |
0,00016 |
0,00063 |
0,00098 |
0,00393 |
0,0158 |
0,0642 |
0,102 |
0,148 |
2 |
0,00200 |
0,0100 |
0,0201 |
0,0404 |
0,0506 |
0,103 |
0,211 |
0,446 |
0,575 |
0,713 |
3 |
0,0243 |
0,0717 |
0,115 |
0,185 |
0,216 |
0,352 |
0,584 |
1,005 |
1,213 |
1,424 |
4 |
0,0908 |
0,207 |
0,297 |
0,429 |
0,484 |
0,711 |
1,064 |
1,649 |
1,923 |
2,195 |
5 |
0,210 |
0,412 |
0,554 |
0,752 |
0,831 |
1,145 |
1,610 |
2,343 |
2,675 |
3,000 |
6 |
0,381 |
0,676 |
0,872 |
1,134 |
1,237 |
1,635 |
2,204 |
3,070 |
3,455 |
3,828 |
7 |
0,598 |
0,989 |
1,239 |
1,564 |
1,690 |
2,167 |
2,833 |
3,822 |
4,255 |
4,671 |
8 |
0,857 |
1,344 |
1,646 |
2,032 |
2,180 |
2,733 |
3,490 |
4,594 |
5,071 |
5,527 |
9 |
1,152 |
1,735 |
2,088 |
2,532 |
2,700 |
3,325 |
4,168 |
5,380 |
6,899 |
6,393 |
10 |
1,479 |
2,156 |
2,558 |
3,059 |
3,247 |
3,940 |
4,865 |
6,179 |
6,737 |
7,267 |
11 |
1,834 |
2,603 |
3,053 |
3,609 |
3,816 |
4,575 |
5,578 |
6,989 |
7,584 |
8,148 |
12 |
2,214 |
3,074 |
3,571 |
4,178 |
4,404 |
5,226 |
6,304 |
7,807 |
8,438 |
9,034 |
13 |
2,617 |
3,565 |
4,107 |
4,765 |
5,009 |
5,892 |
7,042 |
8,634 |
9,299 |
9,926 |
14 |
3,041 |
4,075 |
4,660 |
5,368 |
5,629 |
6,571 |
7,790 |
9,467 |
10,165 |
10,821 |
15 |
3,483 |
4,601 |
5,229 |
5,985 |
6,262 |
7,261 |
8,547 |
10,307 |
11,036 |
11,721 |
16 |
3,942 |
5,142 |
5,812 |
6,614 |
6,908 |
7,962 |
9,312 |
11,152 |
11,912 |
12,624 |
17 |
4,416 |
5,697 |
6,408 |
7,255 |
7,564 |
8,672 |
10,085 |
12,002 |
12,792 |
13,531 |
18 |
4,905 |
6,265 |
7,015 |
7,906 |
8,231 |
9,390 |
10,865 |
12,857 |
13,675 |
14,440 |
,
удовлетворяющие равенству
при различных значениях Продолжение таблицы П. 2
k |
Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях |
|||||||||
0,999 |
0,995 |
0,99 |
0,98 |
0,975 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,75 |
0,70 |
|
19 |
5,407 |
6,844 |
7,633 |
8,567 |
8,907 |
10,117 |
11,651 |
13,716 |
14,562 |
15,352 |
20 |
5,921 |
7,434 |
8,260 |
9,237 |
9,591 |
10,851 |
12,443 |
14,578 |
15,452 |
16,266 |
21 |
6,447 |
8,034 |
8,897 |
9,915 |
10,283 |
11,591 |
13,240 |
15,445 |
16,344 |
17,182 |
22 |
6,983 |
8,643 |
9,542 |
10,600 |
10,982 |
12,338 |
14,041 |
16,314 |
17,240 |
18,101 |
23 |
7,529 |
9,260 |
10,196 |
11,293 |
11,688 |
13,091 |
14,848 |
17,187 |
18,137 |
19,021 |
24 |
8,085 |
9,886 |
10,856 |
11,992 |
12,401 |
13,848 |
15,659 |
18,062 |
19,037 |
19,943 |
25 |
8,649 |
10,520 |
11,524 |
12,697 |
13,120 |
14,611 |
16,473 |
18,940 |
19,939 |
20,867 |
26 |
9,222 |
11,160 |
12,198 |
13,409 |
13,844 |
15,379 |
17,292 |
19,820 |
20,843 |
21,792 |
27 |
9,803 |
11,808 |
12,879 |
14,125 |
14,573 |
16,151 |
18,114 |
20,703 |
21,749 |
22,719 |
28 |
10,391 |
12,461 |
13,565 |
14,847 |
15,308 |
16,928 |
18,939 |
21,588 |
22,657 |
23,647 |
29 |
10,986 |
13,121 |
14,256 |
15,574 |
16,047 |
17,708 |
19,768 |
22,475 |
23,567 |
24,577 |
30 |
11,588 |
13,787 |
14,953 |
16,306 |
16,791 |
18,493 |
20,599 |
23,364 |
24,478 |
25,508 |
Продолжение таблицы П. 2
k |
Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях |
||||||||||
0,50 |
0,30 |
0,25 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
|
1 |
0,455 |
1,074 |
1,323 |
1,642 |
2,706 |
3,841 |
5,024 |
5,412 |
6,635 |
7,879 |
10,827 |
2 |
1,386 |
2,408 |
2,773 |
3,219 |
4,605 |
5,991 |
7,378 |
7,824 |
9,210 |
10,597 |
13,815 |
3 |
2,366 |
3,665 |
4,108 |
4,642 |
6,251 |
7,815 |
9,348 |
9,837 |
11,345 |
12,838 |
16,268 |
4 |
3,357 |
4,878 |
5,385 |
5,989 |
7,779 |
9,488 |
11,143 |
11,668 |
13,277 |
14,860 |
18,465 |
5 |
4,351 |
6,064 |
6,626 |
7,289 |
9,236 |
11,070 |
12,832 |
13,388 |
15,086 |
16,750 |
20,517 |
6 |
5,348 |
7,231 |
7,841 |
8,558 |
10,645 |
12,592 |
14,449 |
15,033 |
16,812 |
18,548 |
22,457 |
7 |
6,346 |
8,383 |
9,037 |
9,803 |
12,017 |
14,067 |
16,013 |
16,622 |
18,475 |
20,278 |
24,322 |
8 |
7,344 |
9,524 |
10,219 |
11,030 |
13,362 |
15,507 |
17,535 |
18,168 |
20,090 |
21,955 |
26,125 |
9 |
8,343 |
10,656 |
11,389 |
12,242 |
14,684 |
16,919 |
19,023 |
19,679 |
21,666 |
23,589 |
27,877 |
10 |
9,342 |
11,781 |
12,549 |
13,442 |
15,987 |
18,307 |
20,483 |
21,161 |
23,209 |
25,188 |
29,588 |
11 |
10,341 |
12,899 |
13,701 |
14,631 |
17,275 |
19,675 |
21,920 |
22,618 |
24,725 |
26,757 |
31,264 |
12 |
11,340 |
14,011 |
14,845 |
15,812 |
18,549 |
21,026 |
23,337 |
24,054 |
26,217 |
28,300 |
32,909 |
13 |
12,340 |
15,119 |
15,984 |
16,985 |
19,812 |
22,362 |
24,736 |
25,472 |
26,688 |
29,819 |
34,528 |
14 |
13,339 |
16,222 |
17,117 |
18,151 |
21,064 |
23,685 |
26,119 |
26,873 |
29,141 |
31,319 |
36,123 |
15 |
14,339 |
17,322 |
18,245 |
19,311 |
22,307 |
24,996 |
27,488 |
28,259 |
30,578 |
32,801 |
37,697 |
16 |
15,338 |
18,418 |
19,369 |
20,465 |
23,542 |
26,296 |
28,845 |
29,633 |
32,000 |
34,267 |
39,252 |
17 |
16,338 |
19,511 |
20,489 |
21,615 |
24,769 |
27,587 |
30,191 |
30,995 |
33,409 |
35,718 |
40,790 |
18 |
17,338 |
20,601 |
21,605 |
22,760 |
25,989 |
28,869 |
31,526 |
32,346 |
34,805 |
37,156 |
42,312 |
Продолжение таблицы П. 2
k |
Значения , удовлетворяющие равенству при различных значениях |
||||||||||
0,50 |
0,30 |
0,25 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
|
19 |
18,338 |
21,689 |
22,718 |
23,900 |
27,204 |
30,144 |
32,852 |
33,687 |
36,191 |
38,582 |
43,820 |
20 |
19,337 |
22,775 |
23,828 |
25,038 |
28,412 |
31,410 |
34,170 |
35,020 |
37,566 |
39,997 |
45,315 |
21 |
20,337 |
23,858 |
24,935 |
26,171 |
29,615 |
32,671 |
35,479 |
36,343 |
38,932 |
41,401 |
46,797 |
22 |
21,337 |
24,939 |
26,039 |
27,301 |
30,813 |
33,924 |
36,781 |
37,659 |
40,289 |
42,796 |
48,268 |
23 |
22,337 |
26,018 |
27,141 |
28,429 |
32,007 |
35,172 |
38,076 |
38,968 |
41,638 |
44,181 |
49,728 |
24 |
23,337 |
27,096 |
28,241 |
29,553 |
33,196 |
36,415 |
39,364 |
40,270 |
42,980 |
45,558 |
51,179 |
25 |
24,337 |
28,172 |
29,339 |
30,675 |
34,382 |
37,652 |
40,646 |
41,566 |
44,314 |
46,928 |
52,620 |
26 |
25,336 |
29,246 |
30,434 |
31,795 |
35,563 |
38,885 |
41,923 |
42,856 |
45,642 |
48,290 |
54,052 |
27 |
26,336 |
30,319 |
31,528 |
32,912 |
36,741 |
40,113 |
43,194 |
44,140 |
46,963 |
49,645 |
55,476 |
28 |
27,336 |
31,391 |
32,620 |
34,027 |
37,916 |
41,337 |
44,461 |
45,419 |
48,278 |
50,993 |
56,893 |
29 |
28,336 |
32,461 |
33,711 |
35,139 |
39,087 |
42,557 |
45,722 |
46,693 |
49,588 |
52,336 |
58,302 |
30 |
29,336 |
33,530 |
34,800 |
36,250 |
40,256 |
43,773 |
46,979 |
47,962 |
50,892 |
53,672 |
59,703 |
Таблица
П. 3. Процентные точки
-распределения
Число наблюдений |
Процентные точки -распределения при различных уровнях значимости , % |
||||
0,1 |
0,5 |
1 |
5 |
10 |
|
3 |
1,414 |
1,414 |
1,414 |
1,414 |
1,412 |
4 |
1,732 |
1,730 |
1,728 |
1,710 |
1,689 |
5 |
1,994 |
1,982 |
1,972 |
1,917 |
1,869 |
6 |
2,212 |
2,183 |
2,161 |
2,067 |
1,996 |
7 |
2,395 |
2,344 |
2,310 |
2,182 |
2,093 |
8 |
2,547 |
2,476 |
2,431 |
2,273 |
2,172 |
9 |
2,677 |
2,586 |
2,532 |
2,349 |
2,238 |
10 |
2,788 |
2,680 |
2,616 |
2,414 |
2,294 |
11 |
2,884 |
2,760 |
2,689 |
2,470 |
2,343 |
12 |
2,969 |
2,830 |
2,753 |
2,519 |
2,387 |
13 |
3,044 |
2,892 |
2,809 |
2,563 |
2,426 |
14 |
3,111 |
2,947 |
2,859 |
2,602 |
2,461 |
15 |
3,171 |
2,997 |
2,905 |
2,638 |
2,494 |
16 |
3,225 |
3,042 |
2,946 |
2,670 |
2,523 |
17 |
3,274 |
3,083 |
2,983 |
2,701 |
2,551 |
18 |
3,320 |
3,120 |
3,017 |
2,728 |
2,577 |
19 |
3,361 |
3,155 |
3,049 |
2,754 |
2,601 |
20 |
3,400 |
3,187 |
3,079 |
2,779 |
2,623 |
21 |
3,436 |
3,217 |
3,106 |
2,801 |
2,644 |
22 |
3,469 |
3,245 |
3,132 |
2,823 |
2,664 |
23 |
3,500 |
3,271 |
3,156 |
2,843 |
2,683 |
24 |
3,529 |
3,295 |
3,179 |
2,862 |
2,701 |
25 |
3,556 |
3,318 |
3,200 |
2,880 |
2,718 |
26 |
3,582 |
3,340 |
3,220 |
2,897 |
2,734 |
27 |
3,606 |
3,360 |
3,239 |
2,913 |
2,749 |
28 |
3,629 |
3,380 |
3,258 |
2,929 |
2,764 |
29 |
3,651 |
3,399 |
3,275 |
2,944 |
2,778 |
50 |
3,672 |
3,416 |
3,291 |
2,958 |
2,792 |
31 |
3,692 |
3,433 |
3,307 |
2,972 |
2,805 |
32 |
3,711 |
3,449 |
3,322 |
2,985 |
2,818 |
33 |
3,729 |
3,465 |
3,337 |
2,998 |
2,830 |
34 |
3,746 |
3,480 |
3,351 |
3,010 |
2,842 |
35 |
3,762 |
3,494 |
3,364 |
3,022 |
2,853 |
Продолжение табл. П. 3
Число наблюдений |
Процентные точки -распределения при различных уровнях значимости , % |
||||
0,1 |
0,5 |
1 |
5 |
10 |
|
36 |
3,778 |
3,507 |
3,377 |
3,033 |
2,864 |
37 |
3,793 |
3,521 |
3,389 |
3,044 |
2,874 |
38 |
3,808 |
3,533 |
3,401 |
3,055 |
2,885 |
39 |
3,822 |
3,545 |
3,413 |
3,065 |
2,894 |
40 |
3,835 |
3,557 |
3,424 |
3,075 |
2,904 |
41 |
3,848 |
3,568 |
3,435 |
3,084 |
2,913 |
42 |
3,861 |
3,579 |
3,445 |
3,094 |
2,922 |
43 |
3,873 |
3,590 |
3,455 |
3,103 |
2,931 |
44 |
3,885 |
3,600 |
3,465 |
3,112 |
2,940 |
45 |
3,896 |
3,610 |
3,474 |
3,120 |
2,948 |
46 |
3,907 |
3,620 |
3,483 |
3,129 |
2,956 |
47 |
3,918 |
3,630 |
3,492 |
3,137 |
2,964 |
48 |
3,928 |
3,639 |
3,501 |
3,145 |
2,972 |
49 |
3,938 |
3,648 |
3,510 |
3,152 |
2,980 |
50 |
3,948 |
3,656 |
3,518 |
3,160 |
2,987 |
51 |
3,957 |
3,665 |
3,526 |
3,167 |
2,994 |
52 |
3,966 |
3,673 |
3,534 |
3,175 |
3,001 |
Таблица
П. 4. Значения
(верхние значения) и
(нижние значения) для различных степеней
свободы f1
и f2
f2 |
f1 |
f2 |
||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
50 |
100 |
|
|||
1 |
161 4057 |
200 4999 |
216 5403 |
225 5675 |
230 5764 |
234 5859 |
237 5928 |
239 5981 |
241 6022 |
242 6056 |
243 6209 |
252 6302 |
253 6334 |
254 6366 |
1 |
|
2 |
18,51 98,50 |
19,00 99,00 |
19,10 99,17 |
19,25 99,25 |
19,30 99,30 |
19,33 99,33 |
19,35 99,36 |
19,17 99,37 |
19,38 99,39 |
19,39 99,40 |
19,44 99,45 |
19,48 99,48 |
19,49 99,49 |
19,50 99,50 |
2 |
|
3 |
10,13 34,12 |
9,55 30,82 |
9,28 29,46 |
9,12 28,71 |
9,01 28,24 |
8,94 27,91 |
8,89 27,67 |
8,85 27,49 |
8,81 27,34 |
8,79 27,34 |
8,66 29,69 |
8,58 26,35 |
8,55 26,23 |
8,53 26,12 |
3 |
|
4 |
7,71 21,20 |
6,94 18,00 |
6,59 16,69 |
6,39 15,98 |
6,26 15,52 |
6,16 15,21 |
6,09 14,98 |
6,04 14,80 |
6,00 14,66 |
5,96 14,55 |
5,80 14,02 |
5,70 13,69 |
5,66 13,57 |
5,63 13,46 |
4 |
|
5 |
6,01 16,26 |
5,79 13,27 |
5,41 12,07 |
5,19 11,39 |
5,05 10,97 |
4,95 10,67 |
4,88 10,46 |
4,82 10,29 |
4,77 10,16 |
4,74 10,05 |
4,56 9,55 |
4,44 9,24 |
4,41 9,13 |
4,36 9,02 |
5 |
|
7 |
5,59 12,25 |
4,74 9,55 |
4,35 8,45 |
4,13 7,85 |
3,97 7,46 |
3,89 7,19 |
3,79 7,00 |
3,67 6,84 |
3,64 6,72 |
3,64 6,62 |
3,44 6,16 |
3,32 6,07 |
3,27 5,75 |
3,23 5,63 |
7 |
|
10 |
4,96 10,04 |
4,10 7,56 |
3,71 6,55 |
3,48 5,99 |
3,33 5,64 |
3,22 5,39 |
3,14 5,20 |
3,07 5,06 |
3,02 4,94 |
2,98 4,85 |
2,77 4,41 |
2,64 4,12 |
2,59 4,01 |
2,54 3,91 |
10 |
|
20 |
4,35 8,10 |
3,49 5,85 |
3,10 4,94 |
2,87 4,43 |
2,71 4,10 |
2,60 3,87 |
2,51 3,70 |
2,45 3,56 |
2,39 3,46 |
2,35 3,37 |
2,12 2,94 |
1,97 2,64 |
1,91 2,54 |
1,84 2,42 |
20 |
|
Продолжение таблицы П. 4
f2 |
f1 |
f2 |
||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
50 |
100 |
|
|||
50 |
4,03 7,17 |
3,18 5,06 |
2,79 4,20 |
2,56 3,72 |
2,40 3,41 |
2,29 3,19 |
2,20 3,02 |
2,13 2,89 |
2,07 2,79 |
2,03 2,70 |
1,78 2,26 |
1,60 1,95 |
1,52 1,82 |
1,44 1,68 |
50 |
|
100 |
3,94 6,90 |
3,09 4,82 |
2,70 3,98 |
2,46 3,51 |
2,31 3,21 |
2,19 2,99 |
2,10 2,82 |
2,03 2,69 |
1,97 2,59 |
1,93 2,50 |
1,68 2,06 |
1,48 1,73 |
1,39 1,60 |
1,28 1,43 |
100 |
|
|
3,84 6,63 |
3,00 4,61 |
2,60 3,78 |
2,37 3,32 |
2,21 3,02 |
2,10 2,80 |
2,01 2,64 |
1,94 2,51 |
1,88 2,41 |
1,83 2,32 |
1,57 1,88 |
1,35 1,52 |
1,24 1,35 |
1,00 1,00 |
|
|
Таблица
П. 5. Значения
(верхняя строчка) и
(нижняя строчка) (критерий Кохрена) для
различных количеств (k)