2.6. Погрешность систем с частотным разделением каналов

Предположим, что при частотном разделении каналов сигнал в каждом канале строго ограничен какой-то полосой частот F. Кро­ме того, канальный фильтр идеален, т.е. пропускает только эту полосу, а вне полосы F имеет бесконечно большое затухание. В то же время реальные сигналы имеют конечную длительность и, сле­довательно, бесконечный спектр частот, а фильтр с бесконечно большим затуханием вне полосы F должен состоять из бесконечно большого числа звеньев, т.е. практически неосуществим. Отли­чие сигналов и фильтров от идеальных и является причиной воз­никновения погрешностей.

Рассмотрим погрешности систем с частотным разделением каналов.

Погрешность, обусловленная перекрестным влиянием каналов, возникает вследствие нелинейности характеристик модулятора в пе­редатчике и демодулятора несущей в приемнике.

Входной сигнал модулятора является суммой напряжений поднесущих частот и для n каналов

(2.6.1)

Примем, что характеристики модулятора или демодулятора нелинейные и зависимость имеет следующий вид:

(2.6.2)

Подставляя в последнее выражение значение U_вх и принимая для простоты U_k= 1, получим

(2.6.3)

Так как , видно, что в выходном напряжении, кроме входных частот и их гармоник появляются комбинационные частоты и ряд других также со своими гармониками, причем число этих сос­тавляющих велико и растет с увеличением числа поднесущих (табл. 2.6.1).

Таблица 2.6.1

Число каналов	Число комбинационных составляющих вида
5	20	40	40
10	90	480	480
15	210	420	1820

Из таблицы видно, что, например, в десятиканальной системе число составляющих вида равно 90, а число составляющих вида равно 480. Причем амплитуда комбинационных частот в несколько раз больше амплитуд соответствующих гармо­ник. Например, при искажении, обусловленном членом , ам­плитуда составляющей вида больше амплитуды тре­тьей гармоники в шесть раз. Эти комбинационные частоты проник­нут через фильтры поднесущих, а поскольку таких составляющих много, сигнал на выходе канала, обусловленный перекрестными ис­кажениями, будет иметь характер флюктуационного шума.

В реальных условиях по каналам связи передаются модулированные колебания, имеющие кроме поднесу­щих дополнительные боковые частоты. Каждая из этих боковых частот также будет искажаться, образуя комбинационные частоты. Поэтому число комбинационных частот резко возрастает. Для уст­ранения этой погрешности поднесущие частоты должны быть раз­несены между собой так, чтобы попадания комбинационных частот в полосу пропускания фильтров поднесущих полностью исключа­лись.

С увеличением числа каналов разнести их становится труднее, поэтому частотное разделение каналов применяют тогда, когда число каналов невелико. Например, для радиотелеметрии приводится соотношение п  18.

Погрешность, обусловленная влия­нием соседних каналов, возникает, так как любые фильтры, используемые для фильтрации поднесущих частот на приемной стороне, не имеют идеаль­ной П-образной характеристики.

Величина этой погрешности зави­сит от вида модуляции поднесущих частот. Рассмотрим влияние соседних каналов для двух случаев.

1. Использование амплитудной модуляции поднесущих частот. Для простоты примем, что по соседним каналам передаются немо­дулированные колебания и . Так как и – поднесущие частоты соседних каналов, то они совпадают с резо­нансными частотами канальных фильтров Ф₁ и Ф₂ (рис. 2.6.1). Так как фильтры не идеальны, то частота пройдет на выход фильтра Ф₂, а частота – на выход фильтра Ф₁.

Рис. 2.6.1. Характеристика фильтров соседних каналов

В этом случае выходное напряжение фильтра Ф₁ равно сумме двух составляющих

(2.6.4)

где – нормированный коэффициент передачи фильтра на часто­те ,

(2.6.5)

(2.6.6)

Демодулятор поднесущих и фильтр ФНЧ (рис. 2.5.2) выделя­ют низкочастотную составляющую, т.е. колебания с частотой . Для того чтобы получить величину выходного напряжения, разложим выражение для U_m по биному Ньютона. Тогда

(2.6.7)

Так как < 1, приближенно можно записать

(2.6.8)

Если нормированный коэффициент передачи фильтра ФНЧ на частоте равен , то напряжение на выходе фильтра

(2.6.9)

Таким образом, использование фильтров с неидеальной харак­теристикой пропускания вызывает помеху в виде постоянной сос­тавляющей, равной , и переменной, представляющей собой биения с частотой и амплитудой .

2. Использование частотной модуляции поднесущих частот. В этом случае напряжение на выходе частотного демодулятора про­порционально отклонению мгновенной частоты сигнала от резо­нансной частоты фильтра поднесущей. Для определения мгновен­ного отклонения частоты найдем выражение для напряжения на выходе фильтра. Как и в первом случае, примем, что по соседним каналам передаются немодулированные колебания.

Напряжение на выходе фильтра равно сумме двух составляю­щих

(2.6.10)

где – коэффициент передачи фильтра Ф₁ на частоте , а

(2.6.11)

Так как , то .

Мгновенную частоту сигнала определим как , а ее отклонение от резонансной частоты фильтра равно

(2.6.12)

Таким образом, помеха, обусловленная соседним каналом при частотной модуляции поднесущих, представляет собой биения с частотой и амплитудой .

Погрешность, обусловленная увеличением амплитуд поднесу­щих, обусловлена ограниченностью линейного участка модуля­тора несущей частоты (М на рис. 2.5.2) и возникает следующим об­разом. В n-канальной измерительной системе на вход модулятора несущей поступает n поднесущих. Положим, что характеристика модулятора имеет линейный участок 2U₀ (рис. 2.6.2, а). Будем счи­тать, что амплитуды поднесущих U_i как при AM, так и при ЧМ рав­ны. Тогда для того чтобы модулятор работал на линейном участке характеристики, необходимо выполнение следующих соотношений:

а) при частотной модуляции поднесущих

(2.6.13)

б) при амплитудной модуляции поднесущих

(2.6.14)

Рис. 2.6.2. Определение погрешности, обусловленной увеличением

амплитуд поднесущих

Необходимость двойки в знаменателе последнего выражения видна из рис. 2.6.3, на котором показана амплитудная модуляция синусоидального напряжения при 100%-й модуляции.

Следовательно, чтобы выходной сигнал модулятора несущей частоты не выходил за границы линейного участка характеристики, необходимо, чтобы амплитуда поднесущих U_i была меньше допустимых , найденных из выражений (2.6.13) и (2.6.14).

Такое ограничение амплитуд поднесущих частот нежелательно, так как отношение сигнал/помеха при сравнительно малых значе­ниях U_i оказывается недостаточным и для увеличения отношения амплитуды поднесущих выгодно увеличивать.

Рис. 2.6.3. Амплитудно-модулированные колебания

Выясним, к чему приведет увеличение подне­сущих, т.е. можно ли до­пустить появление пере­модуляции. Если генера­торы поднесущих независимы, то напряжение на выходе суммирующего устройства U_ (рис. 2.6.2, б) является случай­ным процессом, представляющим собой сумму случайных процес­сов. Этот случайный процесс при U_i > будет в течение некото­рого времени выходить за пределы линейного участка модулятора, как это видно из рис. 2.6.2, в.

Разность представляет собой последовательность импульсов, случайно распределенных во времени (рис. 2.6.2, г) и имеющих случайные амплитуды и длительности. Такая последова­тельность импульсов имеет сплошной спектр и, следовательно, пройдет на выходы всех каналов в виде помехи.

Значение погрешности, обусловленной этой помехой, зависит от превышения фактической амплитуды поднесущей над допустимой амплитудой , определенной из выражений (2.6.13) и (2.6.14), т.е. от перемодуляции.

Найти допустимое превышение U_i над можно следующим образом. Если число поднесущих велико (n > 10), то в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей напряже­ние на выходе суммирующего устройства будет распределено по нормальному закону (рис. 2.6.2, д), плотность распределения которо­го определим из выражения

, (2.6.15)

где – дисперсия процесса, представляющего собой напряжение на выходе суммирующего устройства.

Так как дисперсия есть средняя мощность процесса, то для не­зависимых процессов суммарная дисперсия

(2.6.16)

На рис. 2.6.2, д площадь S пропорциональна вероятности того, что напряжение не будет выходить за пределы –U₀ и + U₀, при­чем эта вероятность равна интегралу

. (2.6.17)

Тогда вероятность того, что выходит за пределы участка, ог­раниченного значениями –U₀ и + U₀ (рис. 2.6.2, д), пропорциональ­на площади S ' и S " (определяется как разность)

(2.6.18)

Задаваясь величиной этой разности, определяют допустимые значения амплитуд поднесущих. В частности, если вероятность вы­хода сигнала за линейный участок (рис. 2.6.2, а) равна 10^-3, то, определив значение интеграла вероятностей по таблицам, получим

(2.6.19)

Другой вероятности выхода процесса за линейный участок характеристики будет соответствовать другое соотношение между U_i и U₀. Таким образом, из последнего выражения видно, что при заданном значении помехи чем больше число каналов в системе, тем большее увеличение амплитуд поднесущих можно допустить.

Выбор амплитуд поднесущих U_i с учетом погрешности, обуслов­ленной перемодуляцией, называется выбором по критерию перегрузки, в то время как выбор U_i по соотношениям (2.6.1) и (2.6.2) называется выбором по отсутствию перегрузки. Обозначив , получим .

Зависимость отношения А_п от числа каналов в системе показана на рис. 2.6.4.

Рис. 2.6.4. Коэффициент увеличения амплитуд поднесущих

Из рисунка видно, что если допускать возможность перемо­дуляции, то в системах с боль­шим числом каналов можно зна­чительно увеличивать амплитуды поднесущих частот. Увеличение же амплитуд в А_п раз позволяет в раз улучшить отношение .