5.7.2. Дискретизация с усреднением

Рассмотрим дискретизацию с помощью последовательности импульсов конечной ширины. Таким импульсам соответствуют средние значения функции в течение длительности импульса (рис. 5.7.5). Осуществить операцию, идеально схожую с -функцией, невозможно. Поэтому -функцию заменяют "щелевой" функцией с конечным носителем. Если щель имеет прямоугольную форму, то формула взятия замера приобретает вид

Рис. 5.7.5. Дискретизация с усред­нением

(5.7.11)

где  – ширина щели.

Используя прямоугольную функцию , которая равна 1 в интервале (-/2, /2) и 0 вне этого интервала, получаем

(5.7.12)

Из равенства

(5.7.13)

находим выражение для дискретизированной функции

. (5.7.14)

Переходя в (5.7.14) к Фурье-образам, определяем

. (5.7.15)

Из (5.7.15) следует, что при усреднении спектр сигнала X(v) заменяется функцией

(5.7.16)

Сомножитель приводит к сдвигу фазы, не изменяя модуль спектральной функции. Спектр X₁(v) получает­ся из спектра X(v) с помощью функции фильтра, модуль и сдвиг фазы которой равны соответственно и .

Таким образом, вместо X(v) используется периодическое продолжение функции X₁(v) (рис. 5.7.6). Часть центрированного относительно начала координат спектра равна:

. (5.7.17)

Итак, фильтрация изменяет модуль спектра в раз. Проиллюстрируем это обстоятельство конкретными числовыми данными. Пусть , , , . Коэффициент фильтрации принимает вид . Для того чтобы влияние фильтрации было меньше одного процента для всех частот вплоть до , необходимо выполнение неравенства . Отсюда получаем .

Рис. 5.7.6. Периодическое продолжение функции x(t)

Пусть α = 1 (дискретизация с частотой Котельникова). Тогда , т.е. ширина импульса дискретизации должна быть меньше 16 % расстояния между импульсами.

Пусть α = 5. Тогда , т.е. ширина импульса может составлять 80% расстояния между импульсами. Если влияние фильтрации уменьшить до 0,1%, то 16 и 80% следует соответственно заменить на 4 и 20%. Поэтому влиянием ширины импульсов дискретизации пренебречь нельзя.

Проиллюстрируем влияние сдвига фаз. Угол сдвига фаз в радианах равен , или в градусах . Поскольку , , то . Сдвиг фазы для будет меньше 5°, если , т.е. . Пусть, как и в предыдущем примере, , что соответст­вует погрешности в модуле не больше 1%. Тогда сдвиг фазы для составит .

5.7.3. Дискретизация сигналов конечной длительности

Рассмотрим сигнал вне интервала (-Т/2, Т/2). Сигнал можно получить из сигнала бесконечной продолжитель­ности, умножив его на прямоугольную функцию :

(5.7.18)

Пусть носителем фурье-образа X(v) сигнала x(t) является интервал , т.е. X(v) = 0 для , тогда

(5.7.19)

Поскольку носитель функции не ограничен, то носитель функции также будет не ограничен. Неограни­ченность носителя функции не позволяет провести дискретизацию сигнала , так как в этом случае частота дискретизации должна быть неограниченно большой, поэтому нельзя осуществить дискретизацию сигнала конечной продолжи­тельности. На практике предполагают, что носители функций и совпадают, т.е. спектры сигналов и определены в одинаковых областях.

Естественно, что в результате такого предположения возни­кает погрешность. Доказано, что для сигнала продолжи­тельностью Т_с вне интервала справедливо выражение

. (5.7.20)

Рассмотрим сигнал неограниченной длительности со спектральным носителем , не усеченный и дискретизированный гребенчатой функцией . Взяв только N импульсов дискретной функции, запишем

. (5.7.21)

Очевидно, этот сигнал неограниченной длительности, по­скольку синк-функция отлична от нуля вне любого конечного интервала, поэтому обычно производится усечение функции :

. (5.7.22)

Доказано, что среднеквадратичная разность между функциями и , т.е. погрешность, вносимая усечением, имеет порядок . Эта погрешность является интегральной, а не локальной разностью между и . Если дискретизация произведена с частотой , то число точек . На практике рекомендуют выбирать , а не .

Следовательно, в большинстве случаев можно проводить дискретизацию усеченного сигнала, предполагая, что носитель спектральной функции совпадает с отрезком и что велико. Ясно, что необходимо проявлять осторожность при интерпретации полученных таким путем результатов.

Приведенные в этом параграфе теоремы дискретизации и связанные с ними методы ограничивают область применения цифровых алгоритмических измерений. Ведь при необходимости обработки сигналов, содержащих высокочастотные составля­ющие, делаются попытки до предела увеличить частоту дискретизации, что всегда связано с различными схемотехничес­кими ухищрениями. Поскольку практически достигаемый в на­стоящее время для сигнального микропроцессора верхний предел частоты дискретизации составляет порядка тысяч мегагерц, то при использовании периодической дискретизации цифровыми методами можно обработать сигналы в относительно узкой полосе частот.