5.2. Развитие понятий числа и измерения величин

Понятия числа и измерения величин принадлежат к основ­ным понятиям науки, которые неразрывно развивались в тече­ние нескольких тысячелетий. В ходе этого развития оформились основные числовые системы математики: положительные целые числа N, целые числа Q, рациональные числа Ra, дейст­вительные числа Re, состоящие из рациональных и ирраци­ональных чисел, комплексные числа С. Нетрудно заметить, что в этой расширяющейся цепочке N  Q  Ra  Re  C каждая числовая система, стоящая рангом выше, обобщает предшест­вующую. Комп­лексные числа стали в каком-то смысле завершением этого развития. Параллельно развивалось и понятие измерения. В упомянутой цепочке числовых систем наблюдается два свойства числовых систем – дискретность и непрерывность. Действительные числа обладают не только свойствами целых чисел, но и некоторыми новыми свойствами. Их можно складывать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни. Они приобрели новое свойство – между точками на действительной оси нет промежутков, они идут непрерывно. Множество действительных чисел обладает свойст­вом непрерывности, а множество целых чисел – свойством дискретности или прерывности. Целые числа входят в множество действительных чисел, но в нем бесконечно много и других чисел.

Математическим образом отдельного предмета служит целое число, а математическим образом совокупности дискретных предметов – сумма целых чисел. Основным исходным математическим образом непрерывности служит непрерывность геометрической фигуры, в простейшем случае – прямой линии. Перед нами две противоположности – дискретность и непрерывность – и их отвлеченные математические образы – целое число и геометрическая протяженность. Измерение есть соединение этих противоположностей; непрерывное измеряется отдельными единицами. Но неделимыми единицами обойтись нельзя, приходится вводить дробные доли исходной единицы. Современная измерительная практика использует и другие числовые системы, являющиеся производными от основных числовых систем математики – четыре вида иррациональных чисел (число , число , число е, золотое сечение), несколько видов натуральных чисел (числа Фибоначчи, р-числа Фибоначчи, числа Ферма и числа Мерсена) интервальные числа, представляющие множество замкнутых интервалов на прямой. В настоящее время интенсив­но развивается вероятностная теория чисел – применение мето­дов теории вероятностей к теории чисел. Случайные числа широко используют при статистических измерениях и при цифровом моделировании.

Согласно концепции Нейгебауэра о метрологическом про­исхождении систем счисления оказалось закономерным появле­ние теоретических исследований в области алгоритмов измере­ния как способов представления (кодирования) чисел. Результатом этих теоретических исследований в области при­кладной арифметики является теория «фибоначчиевых» двоич­ных систем счисления. Особенно проявила себя эта тенденция в технике аналого-цифрового преобразования. Здесь при метрологическом кодировании сигнала измерение присутствует как аппаратурный прием проектирования устройств преобразования формы информации. Такой прием создания устройств измерительной техники ставит совершенно новые проблемы метрологического обеспечения разработок различных устройств.

В настоящее время стало складываться новое направление микроэлектроники – однокристальные цифровые процессоры обработки аналоговых сигналов или сигнальные микропроцессоры (СМП), работающие в реальном времени. В этих приборах имеют место два вида измерения: физическое и функциональное (алгоритмическое). Физическое измерение выполняют в ана­лого-цифровых преобразователях (АЦП); функци­ональное измерение – вычислительным устройством, входящим в состав СМП. Функциональное измерение может быть достоверным, если соблюдены требования надлежащего мет­рологического обеспечения – стабильная тактовая частота ге­нератора и стабильное опорное напряжение, необходимое число разрядов всех регистров вычислительного устройства, стабильная и надежная элементная база. В последнее время появились разработки СМП с использованием природных констант и, в частности, на основе эффекта Джозефсона.

Развитие техники измерений и проектирования цифровой аппаратуры способствовало расширению понятийного аппарата теории измерений. Математика в настоящее время позволяет рассматривать теорию измерений как алгебру событий и от­ношений, а измерение считать решением одного класса ма­тематических задач. При таком подходе оказывается возмож­ным измерять любые показатели, если только определены множества элементов и шкалы (неметрические и метрические). Однако развитие технологии и схемо- и системотехники позволяет реализовать аппаратно и программно как неметри­ческие, так и метрические шкалы и, таким образом, рассматри­вать цель измерения не только как средство получения информации об исследуемом объекте, но и как аппаратурный прием проектирования цифровой и аналоговой техники.