3.7. Проверка статистических гипотез

3.7.1. Проверка соответствия гипотезы и экспериментальных данных

Задача проверки гипотез состоит в том, чтобы установить, противоречит выдвинутая гипотеза экспериментальным данным или нет. Так как результаты измерений со­провождаются погрешностями, то обычно они не могут с абсолютной достоверностью ни подтвердить, ни отвергнуть никакую гипотезу, т.е. всегда существует не равная нулю вероятность того, что принятое ре­шение ошибочно.

Алгоритм, в соответствии с которым экспериментальным данным ставится в соответствие решение принять или отвергнуть гипотезу, на­зывается решающим правилом, или правилом решения.

Предположим, что относительно некоторого параметра  распре­деления случайной величины х выдвинута гипотеза, заключающаяся в том, что его значение равно  = ₀. В результате измерений получена оценка этого параметра, на основе которой экспериментатор должен либо принять, либо отвергнуть выдвинутую гипотезу. Для этого необходимо ответить на вопрос: как сильно оценка должна отличаться от ₀, чтобы принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу?

При этом следует учитывать, что отличие оценки от значения ₀ может быть вызвано, во-первых, случайным характером оценки и, во-вторых, неравенством истинного значения  значению ₀. Таким образом, если отличие  от ₀ может быть объяснено чисто случайными причинами, то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае она отклоняется.

Пусть известна плотность распределения оценки . Изобразим ее графически (рис. 3.7.1), предполагая, что выдвинутая гипотеза  = ₀ верна, т.е. М[ ] = ₀. Установим две границы ₁ и ₂ и сформулируем следующее решающее правило: если ₁   ₂, то гипотеза принимается; если  < ₁ или  > ₂, то гипотеза отклоняется. При этом может быть принято ошибочное решение, причем вероятность ошибки равна

(3.7.1)

Рис. 3.7.1. Плотность распределения оценки

Вероятность ошибки  называется уровнем значимости и при расчетах принимается обычно равной 0,05 или 0,01.

Будем считать, что . Тогда для установления границ ₁ и ₂ достаточно задаваться только значением уровня значимости  и воспользоваться таблицами известного распределения .

Рассмотрим другой пример проверки гипотез. Пусть некото­рый параметр  распределения случайной величины может принимать только одно из двух значений: ₀ или ₁. На основании экспериментально полученной оценки необходимо решить, какое значение  имело место в эксперименте. Для этого необходимо проверить гипоте­зу  = ₀ против альтернативной гипотезы  = ₁. На рис. 3.7.2 изображена плотность распределения как при условии справедливости нулевой гипотезы М[ ] = ₀, так и при ус­ловии справедливости альтернативной гипотезы M[ ] = ₁.

Рис. 3.7.2. Плотность распределения оценки

Установим границу _Г и сформулируем решающее правило: если   _Г, то принимается нулевая гипотеза  = ₀, если  > _Г, то принимается альтернативная гипотеза  = ₁.

Обозначим следующие вероятности:

При принятии решения в соответствии с указанным решающим правилом возможны четыре ситуации:

1. нулевая гипотеза верна, но отклоняется. При этом имеет место ошибка 1-го рода, вероятность которой равна  – уровню значи­мости;

2. альтернативная гипотеза верна, но отклоняется. При этом име­ет место ошибка 2-го рода, вероятность которой равна ;

3. нулевая гипотеза верна и принимается. Вероятность такого ис­хода равна 1-;

4. альтернативная гипотеза верна и принимается. Вероятность этого равна 1- и называется мощностью решающего правила.

Следует помнить, что решающее правило должно включать в себя критерий, по которому устанавливается граничное значение. В качестве такого критерия может, в частности, использоваться критерий максимального правдоподобия.

Пример 3.7.1. Случайная величина х распределена нормально. Необ­ходимо проверить гипотезу относительно значения ее математического ожидания. Выдвинутая гипотеза состоит в том, что  = 6,8. Выполнено n = 10 измерений, обработка результатов которых дала следующие оценки: 6,5; S = 0,5.

Решение. Как известно, величина распределена по за­кону Стьюдента с п – 1 степенями свободы. Поэтому условием приня­тия гипотезы будет выполнение неравенства

В случае невыполнения этого неравенства гипотеза отклоняется. Задаемся уровнем значимости  = 0,05. Для вероятности 0,025 и числа степеней свободы k = n-1 = 9 по таблице t-распределения находим t = 2,262.

Вычисляем  = 0,3, 0,377.

Так как указанное неравенство выполняется, то можно считать, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

Пример 3.7.2. При условиях, заданных в предыдущем примере, необ­ходимо проверить гипотезу, состоящую в том, что ² =   = 0,9.

Решение. Как известно, величина распределена по закону ² с n-1 степенями свободы. Поэтому условием принятия нулевой гипоте­зы будет выполнение неравенства

где и – значения величины ² (см. таблицу ²-распределения), соответству­ющие вероятностям и и числу степеней свободы . Задаемся уровнем значимости  = 0.05. Тогда при = 9 по таблицe ²-распределения находим  = 19,023 и = 2,700. Таким образом, условием принятия нулевой гипотезы будет в данном случае

0,131 <   < 0,926.

Так как это условие выполняется, то можно считать, что гипоте­за не противоречит экспериментальным данным.