- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
§ Непрерывность тригонометрических функций
10. ,
.
Выбрав получим, что
()
т.е. . Функция непрерывна .
20.-суперпозиция линейной функции и , непрерывна как суперпозиция двух функций непрерывных .
30. Функции tgx, ctgx непрерывны xR, кроме точек, в которых знаменатель обращается в ноль (как частное двух непрерывных функций),
т.е. функции y = tgx и y = ctgx непрерывны в своей области определения.
Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
Рассмотрим .
Тогда 0 < S ∆AOB < S сек.АОВ < S ∆AOC ,
tg x,
0 sin x x tg x ,
,
.
Учитывая, что при x 0 , по принципу двустороннего ограничения получаем .
Для вывод проводится аналогично. Получаем .
Этот предел называется первым замечательным пределом.
§ Монотонные функции
10. Функция f (x) называется возрастающей на множестве X D(f ) если
, или, что тоже самое
.
20. Функция f (x) называется неубывающей на множестве X D(f ) если
, или, что тоже самое
.
30. Функция f (x) называется убывающей на множестве X D(f ) если
, или, что тоже самое
.
40. Функция f (x) называется не возрастающей на множестве X D(f ) если
, или, что тоже самое
.
Из приведенных определений ясно, что понятие возрастания и убывания функции является понятием глобальным, в отличие от, скажем, непрерывности являющейся понятием локальным.
Функции возрастающие на множестве X или убывающие на множестве X называются монотонными функциями.
Для последовательностей:
10. Последовательность {xn} называется возрастающей, если
m,n N m > n xm > xn .
20. Последовательность {xn} называется убывающей, если
m,n N m > n xm < xn .
30. Последовательность {xn} называется не возрастающей, если
m,n N m > n xm xn .
40. Последовательность {xn} называется не убывающей, если
m,n N m > n xm xn .
Для монотонных функций
*.Если функция монотонна на множестве, то она монотонна на всяком его подмножестве.
*.Если функция одноименно монотонна на промежутках с общей точкой, то она одноименно монотонна на их объединении.
*.Максимальным промежутком монотонности называется такой промежуток монотонности, который не содержится ни в каком большем промежутке монотонности.
*.Максимальные промежутки одноименной монотонности либо совпадают, либо не имеют общих точек.
*.Максимальные промежутки монотонности (разноименной) могут быть смежными и иметь общий конец.
§ Арифметические действия над монотонными функциями.
*. Сумма одноименно монотонных функций одноименно монотонна со слагаемыми.
*. Произведение положительных одноименно монотонных функций одноименно монотонно с сомножителями.
*. Изменение знака монотонной функции (умножение на “-1” ) меняет тип монотонности на противоположный.
*. Изменение знака аргумента меняет тип монотонности на противоположный.
*.Переход от положительной монотонной функции f (x) к арифметически обратной ей функции меняет тип монотонности на противоположный.
*. Взаимно-обратные функции одноименно монотонны.
*. Суперпозиция одноименно монотонных функций не убывает.
*. Суперпозиция разноименно монотонных функций не возрастает.
(При этом суперпозиция не строгая, если не строго монотонна хотя бы одна из функций).
Т. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности):
Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.
Монотонная последовательность всегда имеет предел (возможно не собственный).
∆ Пусть к примеру не возрастает и ограничена снизу .
и inf xn = l* .
Тогда > 0 N l* > xN > l*+ n > N l* < xn xN < l*+ ▲.
Пример: Рассмотрим последовательность .
-
. Тогда начиная с некоторого номера .
, т.е. и последовательность монотонно убывает. При этом она ограничена снизу, т.к. > 0 .
Следовательно .
В равенстве: перейдем к пределу при
b = 0b = 0 .
2) c – любое: , и отсюда .
Т.к. величина является бесконечно малой тогда и только тогда, когда бесконечно малым является её модуль.
§ Перестановки, РАзмещения и сочетания
Пусть имеется набор из n различных объектов.
Правило, по которому объектам ставятся в соответствие элементы из того же набора, причем каждый только один раз, называется перестановкой из n элементов и количество перестановок обозначается .
Количество перестановок из n элементов
Чтобы установить справедливость этой формулы представим себе, что необходимо заполнить n пронумерованных ящичков n различными шарами по одному в каждый ящичек. Тогда, первый ящичек можно заполнить любым из имеющихся n шаров, второй ящичек любым из оставшихся n–1 шаров, следующий любым из оставшихся n–2 шаров и т.д. Перемножая эти числа, мы и получим уже приведенную выше формулу.
Пусть требуется произвести выборку k элементов из набора в n различных элементов и, при этом считаются различными выборки не отличающиеся составом выбранных элементов, а отличающиеся только порядком, в котором выбираются эти k элементов. Такие выборки называются размещениями из n элементов по k и, количество таких выборок обозначается . .
Установить справедливость этой формулы легко, если применить рассуждения аналогичные рассуждениям, приведенным при выводе формулы для перестановок из n элементов.
Выборки k элементов из набора в n элементов, когда различными считаются только выборки, имеющие разный состав, называются сочетаниями из n элементов по k . Их количество обозначается , и при этом .
Замечание при вычислении количества сочетаний мы иногда сталкиваемся с необходимостью вычислить 0! . Чтобы не записывать для этих случаев отдельные формулы, условились считать, что . Оказалось, что такая договоренность не приводит к неприятностям, а позволяет вычислять и в тех случаях, когда в знаменателе стоит 0!.
Примеры:
-
Каково количество различных вариантов расположения команд в итоговой турнирной таблице футбольного чемпионата , если в нем принимают участие 16 команд Ответ Таких способов: .
-
Каково количество различных вариантов распределения призовых мест (золото, серебро, бронза) Ответ При распределении призовых мест важным является не только то кто из участников стал призером, но и каким именно.
Поэтому, получаем :
.
-
Каково количество различных вариантов определения двух неудачников сезона, занявших два последних места (покидают высшую лигу) Ответ При определении неудачников важным является только то кто из участников занял последние два места и абсолютно неважно какое именно , ибо все равно обе команды покидают элитный дивизион.
Поэтому, получаем :
.