- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
§ Разрывы монотонной функции.
Т˚. Монотонно возрастающая (убывающая) на промежутке Х функция f (x) может иметь во внутренних точках лишь разрывы 1-го рода.
∆ Пусть - внутренняя точка Х и f (x) монотонно возрастает. Тогда слева от
f (x) < f () и, следовательно, ограничена сверху. и
а) если то функция непрерывна слева в т.,
б) если то функция разрывна слева в т..
Тогда справа от функция f (x) > f () и, следовательно, ограничена снизу. Следовательно , и
а) если то функция непрерывна справа в т.,
б) если то функция разрывна справа в т..
Т.к. пределы функции в точке и слева и справа существуют и конечны, то в т. , в худшем случае, будут разрывы 1-го рода. ▲
Т˚. (Критерий непрерывности монотонной функции). Если значения монотонно возрастающей функции содержатся в промежутке Y и сплошь заполняют его (т.е. ), то эта функция непрерывна на Х. ∆▲
§ Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (Больцано-Коши)
Т˚. Функция, непрерывная на промежутке и принимающая какие-либо два значения, принимает и всякое промежуточное значение. (Значения, которые принимает непрерывная функция на промежутке, сами заполняют некоторый промежуток).
Пусть I – интервал; . f (a) = α; f (b) = β.
Тогда | f (c) = γ.
Вспомогательный факт: если f (x) непрерывна в т. и f () = ξ > γ,
то f (x) > γ.
Аналогично: если f () = ξ < γ
то f (x) < γ.
∆ Рассмотрим все , для которых . Т.е. .
Множество Х – не пусто, т.к. f (a)< γ и ограничено сверху (например, числом b).
Тогда .
Докажем, что f (c) = γ (от противного).
1). , т.е. ,
что противоречит тому, что с = sup X.
2). , т.е. ,
и это вновь противоречит тому, что с = sup X.
Таким образом f (c) = γ. ▲
Т˚. Непрерывная на замкнутом промежутке функция f (x), на концах промежутка принимающая значение разных знаков, неминуемо внутри промежутка обращается в ноль.
∆ Доказательство проведем методом вилок
Положим и . Делим отрезок пополам точкой с . Если то теорема доказана. Если же , то на одном из двух промежутков или функция имеет разные знаки на концах . Пусть это отрезок, например .
Положим и . Получим промежуток .
Продолжая эту процедуру мы либо на некотором конечном шаге найдем точку с в которой , либо получим бесконечную последовательность вложенных замкнутых промежутков, удовлетворяющих условию .
При этом . Значит существует с общая точка всех промежутков для которой справедливы равенства . Учитывая что, делаем заключение . ▲
§ Существование экстремумов непрерывной функции на сегменте (теорема Вейерштрасса)
Т˚ Функция непрерывная на замкнутом промежутке необходимо ограничена на этом промежутке и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.
| |
∆ 1) Допустим, что f (x) неограниченна сверху для . Тогда |
Построив последовательность выделим из неё сходящуюся последовательность , тогда, по непрерывности , но . Полученное противоречие, доказывает ограниченность функции сверху. (Аналогично доказывается ограниченность функции снизу.
-
Докажем, что достигается, т.е. | .
Вновь от противного: пусть это не так. Тогда
Рассмотрим непрерывна и, следовательно (из 1)), ограничена, т.е. , т.е. .
Последнее неравенство противоречит тому, что . (аналогично с точной нижней гранью). ▲
Т. (об обратной функции). Если y = f (x) определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке Х, то в соответствующем промежутке Y значений этой функции существует однозначная обратная функция x = также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
∆ (для возрастающей функции) . Отметим, что
-
Существование обратной функции. Если f (x) непрерывна, то её значения заполняют промежуток Y сплошным образом, т.е. | . Единственность такого x следует из монотонности исходной функции.
Тогда : , т.е. x = .
-
Монотонность. Пусть . Т.е. x = – монотонна.
-
Непрерывность (из критерия непрерывности монотонной функции). Значения
x = сплошь заполняют промежуток Х и – монотонна. ▲
§ Обратные тригонометрические функции
1 . y = sin x
Синусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Синусом угла называется ордината конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).
R . Функция нечетная, периодичная с периодом Т = 2.
Ее график приведен выше.
Решение простейших уравнений Z ,
Z ,
Z .
А уравнение
На промежутке функция y = sin x монотонно возрастает и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arcsin x . Справа приводим ее график.
Def.
, .
Отметим, что
Z .
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
Z .
2 . y = cos x
Косинусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Косинусом угла называется абсцисса конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).
R . Функция четная, периодичная с периодом Т = 2.
Ее график приведен выше.
Решение простейших уравнений Z ,
Z ,
Z .
А уравнение
На промежутке функция y = cos x монотонно убывает и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arccos x . Справа приводим ее график.
Def.
, .
Отметим, что
Z .
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
Z .
Приведем еще несколько полезных соотношений
.
-
y = tg x
Тангенсом числового аргумента называется отношение синуса и косинуса того же аргумента. Его величина равна ординате точки пересечения продолжения радиуса подвижного круга с вертикальной прямой, проходящей через точку с координатами ( 1, 0) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью тангенсов).
D(tg) = R\{x x = Z } Е(tg) = R.
Функция нечетная, периодичная с периодом Т = .
График функции приведен выше.
Решение простейших уравнений tgZ ,
tgZ ,
tgZ ,
А уравнение tg
Н
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arctg x . Справа приводим ее график.
Def.
R , E(arctg) = .
Отметим, что Z .
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
Z .
Приведем еще несколько полезных соотношений
.
4 . y =ctg x
Котангенсом числового аргумента называется отношение косинуса и синуса того же аргумента. Его величина равна абсциссе точки пересечения продолжения радиуса круга с горизонтальной прямой, проходящей через точку с координатами ( 0, 1) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью котангенсов).
D(сtg) = R\{x x = Z } Е(сtg) = R.
Функция нечетная, периодичная с периодом Т = .
График функции приведен выше.
Решение простейших уравнений сtgZ ,
сtgZ , сtgZ ,
А уравнение сtg
На промежутке функция y = ctg x монотонно убывает и непрерывна.
Следовательно, существует обратная к ней функция:
y = arcсtg x . Справа приводим ее график.
Def.
R , E(arctg) = .
Отметим, что Z .
И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение
сZ .
Приведем еще несколько полезных соотношений
,
.