Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.

Одной из проблем, возникших в теории множеств и долгое время ожидавших своего решения, являлась так называемая проблема ²континиума²: существуют ли множества с мощностью большей мощности счетного множества, но меньшей мощности континиума?

Проблема была решена американским математиком Полем Коэном. Он доказал, что существование или отсутствие таких множеств не вытекает из аксиом теории множеств и может быть принято в качестве еще одной аксиомы теории множеств.

Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств

1^○ Множество X называется ограниченным сверху (снизу) если существует вещественное L ( l ) число такое, что L больше ( l меньше) любого элемета X.

Ограниченное сверху: $LÎR "x ÎX x £ L.

Ограниченное снизу: $l Î R "x ÎX x ³ l.

При этом L называется верхней, а l нижней гранями множества X.

Любое число большее верхней грани, естественно, также является верхней гранью.

Любое число меньшее нижней грани, естественно, также является нижней гранью.

Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограничено снизу.

$L , l Î R "x ÎX l £ x £ L или, что то же самое, $А Î R "x ÎX | x | < А .

2^○ Множество X называется неограниченным сверху, если "LÎR $x ÎX x >L. Множество X называется неограниченным снизу, если : "l Î R $x ÎX x < l.

Множество называется неограниченным если оно неограничено сверху или снизу.

3^○ Наименьшая из верхних граней множества, если она существует, называется точной верхней гранью L* множества X и обозначается : L* = sup X

L* : 1. "x ÎX x £ L* 2. "e>0 $x ÎX x > L* -e.

Наибольшая из нижних граней множества, если она существует, называется точной нижней гранью l* множества X и обозначается : l* = inf X

l* : 1. "x ÎX x > l* 2. "e>0 $x ÎX x < l* -e.

4^○ Если L* ÎX , то L* называется максимальным элементом множества X.

L* = sup X = max X.

Аналогично, если l* ÎX , то l* называется минимальным элементом множества X.

l* = inf X = min X.

Из этих определений ясно, что максимальный элемент множества X одновременно является и точной верхней гранью множества а минимальный элемент множества X одновременно является и точной нижней гранью множества. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры.

1^○ X= [ a, b]. a = inf X = minX, b = supX = maxX.

2^○ X= ( a, b). a = inf X , b = supX . Наибольшего и наименьшего элементов интервала не существует.

Т^○ Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. ∆ ▲

• Ч

  

  исловую прямую R можно расширить.

Рисунки иллюстрируют тот факт, что числовая прямая R, расширенная +¥ и -¥ топологически эквивалентна полуокружности с включенными крайними точками дуги или отрезку, а числовая прямая R, расширенная ¥ топологически эквивалентна окружности.

Т^○ На числовой прямой R, расширенной +¥ и -¥ всякое непустое числовое множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань (может быть несобственную). ∆ ▲

Примеры.

1^○ X= N. inf X = minX =1, supX = +¥ , maxX не существует.

2^○ X= Q. inf X = -¥, supX = +¥ , maxX и minX не существуют.

§ ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК

Характеристическое свойство промежутка - вместе с любыми двумя точками промежутка в нем содержится и всякий промежуток, лежащий между ними.

Основные типы промежутков:

а) интервал : (a, b) = {xÎR ½ a < x < b} ;

б) полуинтервал: [a, b) = {xÎR ½ a £ x < b} или (a, b] = {xÎR ½ a < x £ b} ; ;

б) сегмент: [a, b] = {xÎR ½ a £ x £ b} .

Def. Открытой окрестностью точки a называется любой, содержащий ее, интервал. Открытая окрестность точки a обозначается U_a.. Интервал является открытой окрестностью любой своей точки.

Def. Открытой e-окрестностью точки a называется множество О(а,e):

О(а,e) º (а-e, а+e) = { xÎR | |x-a| < e }.

Def. Проколотой окрестностью точки a называется множество .

Def. Проколотой e-окрестностью точки a называется множество

(а,e) º (а-e, а+e) \ {a} = { xÎR | 0 < |x-a| < e }.

Def. Односторонней окрестностью точки a называется пересечение окрестности a с одной из полупрямых, на которые она разбивает числовую прямую:

, ;

, .

Def. Для бесконечно удаленных точек окрестности определяются следующим образом:

Левая полуокрестность точки +: О(, e) º (e, +) ,

Правая полуокрестность точки : О( e, ) º (e, ) .