§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.

Field of Complex numbers.

Def: Говорят, что на множестве М задана внутренняя операция, если в операции участвуют элементы из множества М. При этом, если результат операции также принадлежит множеству М, то операция называется заданной корректно.

Полем называется множество Р , в котором корректным способом определены две бинарные (двухместные) внутренние операции называемые сложением и умножением элементов такие, что:

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7.;

4. ; 8. ;

9. .

Отметим, что:

а) аксиомы 1–3 определяют поле как группу по сложению, а аксиома 4 делает эту группу абелевой (коммутативной).

б) аксиомы 5–8 говорят о том, что по умножению коммутативной группой является множество не нулевых элементов поля.

в) аксиома 9 связывает эти операции друг с другом дистрибутивным законом.

г) ассоциативность (1 и 5) позволяет сумму и произведение более чем 2-х элементов поля писать без скобок: и поскольку всякая расстановка скобок, призванная указать порядок выполнения операций, приводит к одному и тому же результату.

§. Свойства элементов поля.

*. В любом поле не меньше двух элементов и существует поле, состоящее равно из двух элементов .

*. Нуль и единица поля единственны: в поле нет таких же элементов с такими же свойствами.

*. Противоположный и обратный элемент для заданного элемента поля определяются однозначно; нуль не имеет обратного, поскольку, вследствие дистрибутивности, нуль, умножаясь на любой элемент поля, даёт нуль.

*. Элемент обратный противоположному, противоположен обратному: .

*. Минус единица (элемент противоположный единице) умножаясь на произвольный элемент, даёт противоположный ему элемент: .

*. Переходы к противоположному и обратному элементу инволютивны, т.е. противоположный к противоположному и обратный к обратному совпадают с исходным:

.

*. Нуль – единственный элемент поля совпадающий, со своим противоположным;

*. Единица – единственный элемент поля совпадающий, со своим обратным.

*. Вследствие коммутативности сумма и произведение не зависит от порядка, в котором берутся, соответственно, слагаемые или сомножители.

*. В поле всегда и однозначно разрешимо всякое уравнение вида

,

другими словами в поле определена операция вычитания обратная сложению, дающая элемент (разность уменьшаемого b и вычитаемого a), который нужно прибавить к вычитаемому чтобы получить уменьшаемое: .

*. Вычитание из самого себя даёт нуль:.

*. Вычитание нуля не изменяет уменьшаемого:.

*. Вычитание из нуля даёт противоположный: .

*. Для алгебраической суммы, куда по определению, каждое слагаемое входит со своим знаком: плюс как прибавленное или минус как вычитаемое и где первый знак, если он плюс не пишется, справедливы ассоциативность и коммутативность, а также дистрибутивность умножения с учётом правила знаков.

*

. В поле всегда и однозначно разрешено всякое уравнение вида:

, (если ),

другими словами в поле определена операция деления на ненулевые элементы поля, дающая элемент (частное данного b и делителя а) на который надо умножить делитель, чтобы получить делимое: .

*. Деление на себя даёт единицу: .

*. Деление на единицу не изменяет делимого: .

*. Деление единицы на ненулевой элемент даёт обратный ему элемент:, .

*. Всякое поле содержит нулевой 0 и единичный e элементы и целые кратные единичного элемента. для

*. вследствие дистрибутивности и единичности нуля;

*. .

*. Сложение и умножение целых кратных единичного элемента поля определяется по правилам: ;

Содержательно эти правила очевидны. Более формально, доказывать нечего, когда одно слагаемое (сомножитель) есть нуль. Для натуральных n и целых m можно воспользоваться индукцией, пользуясь индуктивными определениями:

, .

*. Отображение задаёт гомоморфизм кольца целых чисел на кольцо целых кратных единичного элемента. Так как это кольцо не содержит делителей нуля то число определяющее вычеты должно быть простым. Это число не может быть единицей, так как это означало бы что . Простое число р - характеристика поля. Когда все кратные единицы попарно различны, поле содержит подполе изоморфное полю рациональных чисел . О таком поле говорят как о поле, имеющем характеристику нуль.

§ Введение комплексных чисел.

Множеством комплексных чисел называется множество объектов вида z = x + iy, где

x, y R а величина i определяется соотношением i² = –1:

{ z | z = x + iy; x, y R, i² = –1}

и введены операции над ними.

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа, при этом x = Re z , y = Im z ( вещественная и мнимая часть числа z).

Определим операции в множестве . Пусть z₁ = x₁ + iy₁; z₂ = x₂ + iy₂;

1. z₁ = z₂ тогда и только тогда, когда x₁ = x₂ и y₁ = y₂.

2. z₁ z₂ (x₁ x₂) + i(y₁ + y₂).

3. z₁z₂ (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁).

4. .

Алгебраическая форма комплексного числа позволяет дать прозрачную геометрическую интерпретацию, если рассматривать комплексное число как точку на плоскости, у которой абсцисса совпадает с , а ордината – с . При этом правила сложения и вычитания комплексных чисел совпадают с правилами сложения и вычитания векторов с координатами (x₁,y₁) и (x₂,y₂).

*. Если Im z = 0, то число z – вещественное число;

*. Если Re z = 0, то число z – чисто мнимое число.

Величина называется модулем комплексного числа .

Числа , образуют пару комплексно сопряженных чисел.

Число комплексно сопряженное к числу обозначается: или .

Свойства операции сопряжения:

1. (z*)* = z; 2. zz* = | z |² ; 3. ; 4. ;

5. (z₁ + z₂)* = z₁* + z₂*; 6. (z₁z₂)* = z₁*z₂*; 7. ; 8. (z ^-1)* = (z*)^-1.