- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
Н.Р. Беляев
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
I семестр
Конспект лекций для студентов физико-технического факультета
Харьков-2005
Литература
-
Зорич «Математический анализ» 1, 2 том.
-
Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» 1, 2, 3 том.
-
Кудрявцев «Математический анализ» 1, 2, 3 том.
-
Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу».
РАЗДЕЛ 1. Элементы математической логики и теории множеств
§ Элементы математической логики
А) Предмет математической логики.
Логика – анализ методов рассуждения, показывающий как надо рассуждать, для
получения правильного вывода.
Математическая логика – логика использующая математические методы и на-
правленная на наиболее удобные для анализа математические рассуждения.
Объектом и средством исследования в математической логике является теория множеств.
В) Простые и составные высказывания. Логические связки.
Повествовательное предложение, которое по смыслу истинно или ложно называется высказыванием:
2 ´2 = 4 – истинное высказывание. 2 ´2 = 5 – ложное высказывание.
В дальнейшем простые высказывания обозначаются буквами А, В, С, D, … и называются пропозициональными переменными.
Из простых высказываний с помощью логических связок можно создавать более сложные высказывания или формулы.
Содержательно оправдано использование 5ти логических связок, которые указываются в порядке приоритета:
1° – унарная (одноместная) – отрицание « Ø » (Ø А) (не А);
и бинарные:
2° – конъюнкция « Ù » (А Ù В, А и В);
3° – дизъюнкция « Ú » (А Ú В, А или В);
4° – импликация « Þ » (А Þ В, если А то В);
5° – эквиваленция « Û » (А Û В, А эквивалентно В).
Результаты применения этих операций к высказываниям приведены в следующих таблицах (таблицах истинности):
-
А
В
Ø А
А Ù В
А Ú В
А Þ В
А Û В
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Здесь, и в дальнейшем, для простоты: истина – « 1 »; ложь – « 0 ».
* Исчислить составное высказывание, т.е. установить истинно оно или ложно при различных значениях пропозициональных переменных можно не только с помощью таблиц истинности, но и с помощью, так называемых, представляющих функций.
Если ввести функцию f на высказываниях такую, что f (истина) = 1; f (ложь) = 0 то:
f (ØA) = 1 – f (A); f (В Ú А) = f (A) + f (A) – f (A)×f (В);
f (А Ù В) = f (A)× f (В); f (В Þ А) = 1 – f (A) + f (A) + f (A)× f (В),
f (AÛB) = 1 – f (A) – f (B) +2 f (A)f (B).
При этом исчисление высказывания производится с помощью арифметических действий над 0 и 1.
* Дополнительные логические связки:
« | » – антиконъюнкция (штрих Шефера); А | В Û Ø (А Ù В);
« ¯ » – антидизъюнкция (стрелка Пирса). А ¯ В Û Ø (А Ú В).
* Взаимосвязь логических связок:
Любую логическую связку можно выразить через три основные логические связки Ø , Ù , Ú:
(А Þ В) Û (Ø А Ú В);
(А Û В) Û (А Þ В) Ù (В Þ А) Û (Ø А Ú В) Ù (Ø В Ú А).
Законы де Моргана:
Ø (А Ù В) Û Ø А Ú Ø В;
Ø (А Ú В) Û Ø А Ù Ø В.
*Алгебраические свойства связок:
1° Коммутативны все бинарные связки, кроме импликации;
2° Ассоциативны Ù, Ú; неассоциативны Þ, Û;
3° Транзитивны Þ, Û;
4° Закон отрицания отрицания: Ø Ø А Û А;
5° Принцип тождества: Ø А Ú А Û «и», Ø А Ù А Û «л»;
5° Правила поглощения: А Ú (А Ù В) Û А, А Ù (А Ú В) Û А.
С). Формулы и их классификация.
Def: Формула :: = {пропозициональная переменная | Ø U | (U Ù V) | (U Þ V) | (U Û V)}, где U и V – формулы.
Формула:
а) выполнима – если существует ($) набор параметров, при которых формула истинна;
б) тождественно-истинная или тавтология – если для любого (") набора параметров формула истинна;
в) опровержима – если существует ($) набор параметров, при которых формула ложна;
г) тождественно-ложная или противоречие – если для любого (") набора параметров формула ложна.
Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
Произвольная конъюнкция (дизъюнкция) формул, каждая из которых есть пропозиционная переменная или ее отрицание называется элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией).
Def: Произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой, а произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (Д.Н.Ф. и К.н.ф.).
Def: Д.н.ф. называется совершенной (с.д.Н.Ф.), если каждая переменная формулы входит в элементарную конъюнкцию ровно один раз – с отрицанием или без него.
Def: К.н.ф. называется совершенной (с.к.Н.Ф.), если каждая переменная формулы входит в элементарную дизъюнкцию ровно один раз – с отрицанием или без него.
Пример: Исчислить высказывание: ((А Þ В) Þ (Ø (С Ú А) Þ В)).
1 5 3 2 4
Внизу указан порядок операций.
-
Таблицы истинности:
-
А
В
С
1
2
3
4
5
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
В 5ом столбце указана истинность всего составного высказывания при различных значениях истинности А, В и С.
2) С помощью формулы: (А Þ В) Û (Ø А Ú В) избавимся от импликаций:
(Ø А Ú В) Þ (С Ú А Ú В)
Ø (Ø А Ú В) Ú С Ú А Ú В и применим один из законов де Моргана.
(А Ù ØВ) Ú С Ú А Ú В - получена формула с «тесными» отрицаниями.
Запишем последнюю формулу в виде:
* (А Ù ØВ) Ú (С)Ú (А)Ú (В), трактуя каждую скобку как элементарную конъюнкцию, видим: дизъюнкцию элементарных конъюнкций, т.е. Д. Н.Ф. она не является совершенной т.к. в каждую скобку входят не все переменные формулы.
Запишем последнюю формулу в виде:
(А Ù ØВ) Ú (С Ú А Ú В) и применим дистрибутивный закон
(А Ú С Ú А Ú В) Ù (ØВ Ú С Ú А Ú В),
(А Ú С Ú В) Ù (ØВ Ú С Ú А Ú В), здесь последняя скобка есть тавтология, поэтому получаем: (А Ú В Ú С) и, трактуя скобку как элементарную дизъюнкцию, делаем заключение, что перед нами К.Н.Ф., причем С.К.Н.Ф. т.к. в элементарную дизъюнкцию входят все три переменные.
Примечание: С.К.Н.Ф. позволяет сказать, что исходная формула ложна только в одном случае, если А, В, С – ложны. Зная С.К.Н.Ф. , легко написать и С.Д.Н.Ф если учесть, что отдельные элементарные конъюнкции описывают случаи истинности формы.
( (А Ú В Ú С) Û (ØА Ù В Ù С) Ú (А Ù ØВ Ù С) Ú (А Ù В Ù ØС) Ú
(ØА Ù ØВ Ù С) Ú (ØА Ù В Ù ØС) Ú (А Ù ØВ ÙØ С) Ú (ØА Ù ØВ Ù ØС)) .
В записанной формуле слева от Û стоит С.К.Н.Ф. а справа С.Д.Н.Ф .
-
Исчислить высказывание можно также, если смоделировать исходное составное высказывание эквивалентной электрической схемой.
Для этого, записав исходную формулу как формулу с тесными отрицаниями можно заменить ее эквивалентной электроцепью.
При этом: конъюнкция А Ù В может быть промоделирована последовательным включением в цепь двух выключателей А и В, а дизъюнкция А Ú В - параллельным.