§ Кванторы

Квантор – логическая операция, преобразующая утверждение о наличии некоторого свойства у объектов данного класса в утверждение о множестве объектов, обладающих этим свойством.

Очень важными являются следующие кванторы:

" – квантор всеобщности;

$ – квантор существования;

$! – квантор существования и единственности;

"хА(х) – для всех х выполняется свойство А(х);

$хА(х) – существует х, для которого выполняется свойство А(х);

$!хА(х) – существует и притом только один х, для которого выполнено свойство А(х).

Алгебраические свойства кванторов:

1°. "х А(х) Û Ø$х Ø А(х),

$х А(х) Û Ø"х Ø А(х);

2°. Коммутирование кванторов с отрицанием:

Ø"х А(х) Û $х Ø А(х),

Ø$х А(х) Û "х Ø А(х);

3°. Коммутирование одноименных кванторов по разным переменным

"х "у А(х, у) Û "у "х А(х, у),

$х $у А(х, у) Û $у $х А(х, у);

Разноименные кванторы, вообще говоря, не перестановочны

$х "у А(х, у) Þ "у $х А(х, у);

Обратной импликации, вообще говоря, нет.

4°. Дистрибутивность " относительно Ù и $ относительно Ú:

"х (А(х) Ù В(х)) Û "х А(х) Ù "х В(х),

$х (А(х) Ú В(х)) Û $х А(х) Ú $х В(х);

5°. "х А(х) Ú "х В(х) Þ "х (А(х) Ú В(х)),

$х (А(х) Ù В(х)) Þ $х А(х) Ù $х В(х),

$х (А(х) Þ В(х)) Û "х А(х) Þ $х В(х),

"х (А(х) Þ В(х)) Þ $х А(х) Þ "х В(х);

6°. Свойства кванторов относительно отождествления:

"х "у А(х, у) Þ "х А(х, х),

$х А(х, у) Þ $х $у А(х, у);

7°. Дистрибутивность кванторов относительно Ù, Ú, Þ когда одно из высказываний не зависит от кванторной переменной:

"х (А(х) Ù В) Û "х А(х) Ù В,

$х (А(х) Ù В) Û $х А(х) Ù В,

"х (А(х) Þ В) Û "х А(х) Þ В,

"х (А Ù В(х)) Û А Þ "х В(х);

8°. Квантор существования и единственности $!

$! хА(х) Û $х А(х) Ù "у (А(у) Þ у = х);

9°. Релятивизованные кванторы:

"_R x A(x) Û "x (R(x) Þ A(x)) «для всех х таких что R(x)»

$_R x A(x) Û $x (R(x) Ù A(x)). «существует х такое что R(x) и А(х)»

§ Элементы теории множеств

С конца 19-го — начала 20-го века теория множеств становится универсальным языком математики.

Георг Кантор (Georg Cantor, 18 -1919, Германия), создатель теории бесконечных множеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике, писал: „под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашего восприятия или мысли“. Это высказывание не является определением понятия „множество“: оно лишь поясняет это понятие, связывая его с другими не менее сложными и не более определенными ранее понятиями. Понятие множества относится к основным, неопределяемым понятиям.

Созданную Кантором теорию обычно называют наивной теорией множеств. Основные положения наивной теории множеств следующие.

1. Множество может состоять из любых хорошо различимых элементов.

2. Множество вполне определяется совокупностью его элементов.

3. Всякое свойство множеств однозначно определяет класс тех и только тех множеств, которые им обладают.

4. Множества сами могут быть элементами множеств.

5. Включение объекта в ту или иную совокупность не отражается на его индивидуальных свойствах.

6. Допустимо мыслить бесконечные множества завершенными (актуальная бесконечность) и, соответственно, операции над ними — выполненными.

Процедура, порождающая неограниченную совокупность объектов в пренебрежении ограниченностью материальных, временных и энергетических ресурсов, а также законами физики, ассоциируется с понятием потенциальной бесконечности.

Математика не нуждается в объектах отличных от классов, вроде коров или молекул. Непринципиальная модификация теории множеств позволяет, при желании, включить и такие объекты в проводимые рассмотрения.

Будем стремиться обозначать элементы множеств, в основном, малыми (строчными) буквами из начала или из конца латинского алфавита:

,

а множества — в основном, большими (заглавными) буквами из начала или из конца латинского алфавита:

.

Конечно, последовательно выдерживать это соглашение, в общем, невозможно т.к. множества сами могут быть элементами других множеств.

Обозначения: аÎА – элемент а принадлежит множеству А.

хÏА Û Ø (хÎА) – х не принадлежит множеству А.

А∋х – множество А имеет элемент х.

А∌х – множество А не имеет элемента х.

Д

иаграммы Эйлера-Венна:

Множества: фигуры на плоскости, элементы множеств – точки.

Отношения равенства и включения:

1°. А = В Û "х (хÎА Û хÎВ)

а) рефлексивность: А = А;

б

) симметрия: А = В Þ В = А;

в) транзитивность: А = В Ù В = С Þ А = С.

2°. А Ì В Û "х (хÎА Þ хÎВ)

«Множество А содержится в множестве В»,

А – подмножество, В – надмножество.

А É В Û В Ì А – « А содержит В».

Отношение включения рефлексивно (множество содержит само себя А Ì А),

антисимметрично (А Ì В Ù В Ì А Û А = В),

транзитивно (А Ì В Ù В Ì С Þ А Ì С).

Отношения равенства и включения определяют частичную упорядоченность.

Классификатор: множество М зачастую задается с помощью классификатора

М º {x ½ P(x)}

«Множество М есть множество объектов х для которых выполнено свойство Р(х)».

Пустое множество Æ – множество, которое не имеет элементов т.е.

а) "х хÏÆ; б) "Х ÆÌХ; в) "Х (ХÌÆ Þ Х = Æ).