§. Производные и дифференциалы высших порядков
Мы дадим индуктивные определения производных и дифференциалов высших порядков:
Def
.
;
;
.
Иногда удобно отождествлять саму функцию и производную нулевого порядка.
Когда нам это будет удобно, именно так мы и будем поступать.
§.Таблица производных высших порядков
1.
.
2.
.
.
3.
.
4.
.
Доказательства
легко проводятся с помощью метода
математической индукции.
5.
.
6.
Если положить
,
то получим весьма удобное рекурентное
соотношение:
.
7.
.
8.
.
§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
Т.
.
∆ Доказательство проведем по методу математической индукции.
а)
При
формула
справедлива, если под нулевой производной
функции понимать саму функцию.
Помнится, что мы об этом уже условились.
б)
Допустим ,что доказываемая формула
справедлива при
т.е.
.
Тогда:
В
последней строчке, в первой сумме изменим
переменную суммирования
.
Тогда
.
В дальнейшем учтем, что:
.
Получим:
Таким
образом, доказано что, если формула
справедлива при
,
то она справедлива и при
.
Согласно методу математической индукции
формула доказана ▲
Пример:
Найти
.
§. Логарифмическая производная
Задача:
Найти производную функции
, где
, а
дифференцируемые
положительные функции.
=
=
.
Дифференцируем полученное равенство.
.
Если
при этом
также функции от
,
то
+
.
Этот прием нахождения производных в случае произведения ( или частного) называется взятием логарифмической производной и может быть, в некоторых случаях, весьма эффективным.
§. Высшие производные сложных функций
Пусть
.
Тогда
.
Пусть
функции
и
– n-кратно
дифференцируемы в точках
и х соответственно. Тогда их
суперпозиция
тоже n –кратно
дифференцируема в точке х и ее n-я
производная полиноминально выражается
через значения n первых
производных функций
и
в т.
и х соответственно.
§. Дифференциалы высших порядков
.
Последняя из написанных формул это формула Лейбница для высших дифференциалов функций, представленных в виде произведения.
§. Высшие производные функций заданных параметрически
.
Если
из двух функций заданных и непрерывных
на промежутке одна строго монотонна в
окрестности точки
,
обе дифференцируемы n-кратно
в окрестности этой точки и первая
производная строго монотонной функции
не равна нулю то в некоторой окрестности
существует функция, заданная параметрически,
тоже n-кратно
дифференцируемая и ее n-я
производная рационально выражается
через n первых
производных функций
и
.