- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
4. Интегральные синус и косинус: .
Гиперболические интегральные функции: .
Т огда: , .
При этом: .
,
т.е. функции и нечетные.
Функции и – четные и при имеют следующие асимптотики: . На рисунке справа вверху приведены графики функций (график проходит через начало координат) и . На рисунке справа внизу приведены графики функций (график проходит через начало координат) и . А на рисунке слева приведен график функции , заданной параметрически.
5. Интегралы Френеля: .
И, значит . Кроме того, эти функции нечетные:.
Н
Элементы элементарной математики
1.
Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
Теория.
Формулы сокращенного умножения для запоминания:
1. , 2. ,
3. , 4. ,
5.
,
6.
, n – четное.
7. ( Бином Ньютона).
Одним из действенных методов решения рациональных (и не только) неравенств является, так называемый, метод интервалов.
Чтобы установить знак дроби с помощью этого метода следует:
-
Числитель и знаменатель дроби разложить на простейшие множители, корни которых легко найти;
-
На числовой оси отметить точки, в которых числитель или знаменатель дроби равен нулю;
-
Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, исключить из рассмотрения;
После проделанного, числовая ось разобьется на интервалы, на каждом из которых знак дроби не изменяется. Установить знак дроби на каждом из таких интервалов можно непосредственной подстановкой произвольной точки интервала и вычислением знака дроби в этой точке.
Задачи для решения :1*, 2*, …, 12*, 13*
Применяя метод интервалов решить следующие неравенства:
1*. , 2*. ,
3*. , 4*. ,
5*. , 6*. ,
7*. , 8*. , 9*. , 10*. , 11*. . 12*. . 13*. .
2.
Свойства функции y = ax2 + bx + c. Квадратные уравнения и задачи связанные с исследованием квадратичных функций .
Теория
Формулы для запоминания:
Для уравнения : , если .
Для уравнения : , если .
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и его знак определяет количество вещественных корней квадратного уравнения.
Т.(Виета). Для квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения : . Для приведенного квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения : .
Т.(обратная теореме Виета). Если для двух произвольных вещественных чисел выполнены соотношения , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .
Т. Квадратный трехчлен , для которого может быть разложен на линейные множители , где – корни квадратного уравнения .
Графиком функции является парабола ветвями вверх при и, ветвями вниз при . Кроме того, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если , касается оси абсцисс не пересекая ее, если и не пересекает ось абсцисс если .
При построении графика функции полезно помнить, что:
а) вертикальная прямая является осью симметрии параболы;
б) парабола пересекается с осью симметрии в точке, которая называется вершиной параболы и имеет координаты .
в) если , то парабола пересекается с осью абсцисс в двух точках с координатами ; если , то эти точки совпадают между собой и совпадают с вершиной параболы; если , то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс.
г) парабола пересекает ось ординат в точке с координатами ; вместе с этой точкой на параболе лежит и точка , симметричная ей относительно оси параболы.
Задачи для решения :1*, 2*, …, 14*
1*. Найти все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения равна сумме квадратов этих корней.
2*. Не решая уравнения , установить значения параметра а, при которых один из корней уравнения в два раза больше другого.
3*. Решить следующие уравнения, используя то, что они имеют общий корень:
и .
4*. Определить при каких значениях параметра а, один из корней уравнения
равен (–1). Найти остальные корни этого уравнения при установленных значениях параметра а.
5*. Найти р и q если известно, что среди корней уравнения: x4 – 10x3 + 37x2 + px +q = 0 есть две пары равных между собой чисел.
6*. При каких m неравенство выполнено для любых х.
7*. При каких m корни уравнения: x2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 отрицательны.
8*. При каких m корни уравнения: 4x2 – (3m + 1)x – m – 2 = 0 заключены в промежутке x[–1, 2].
9*. Найти коэффициенты уравнения x2 + px + q = 0 при условии, что разность его корней равна 5, а разность их кубов равна 35.
10*. При каком значении а оба корня уравнения
х2 – (а + 1)х + а + 4 = 0 будут положительны.
11*. При каких значениях m неравенство выполняется для любых значений х.
12*. При каких n корни уравнения: (n – 2)x2 – 2nx + n + 3 = 0 находятся на промежутке x[1, 4].
13*. При каких m неравенство выполняется для любых значений х.
14*. При каких р система неравенств выполняется для любых х:
.
3.