4. Интегральные синус и косинус: .

Гиперболические интегральные функции: .

Т

огда: , .

При этом: .

,

т.е. функции и нечетные.

Функции и – четные и при имеют следующие асимптотики: . На рисунке справа вверху приведены графики функций (график проходит через начало координат) и . На рисунке справа внизу приведены графики функций (график проходит через начало координат) и . А на рисунке слева приведен график функции , заданной параметрически.

5. Интегралы Френеля: .

И, значит . Кроме того, эти функции нечетные:.

Н

а рисунке слева приводятся графики функций и (имеющая в начале координат нулевую производную. На рисунке справа приведен график функции , заданной параметрически.

Элементы элементарной математики

1.

Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.

Теория.

Формулы сокращенного умножения для запоминания:

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5.

,

6.

, n – четное.

7. ( Бином Ньютона).

Одним из действенных методов решения рациональных (и не только) неравенств является, так называемый, метод интервалов.

Чтобы установить знак дроби с помощью этого метода следует:

1. Числитель и знаменатель дроби разложить на простейшие множители, корни которых легко найти;

2. На числовой оси отметить точки, в которых числитель или знаменатель дроби равен нулю;

3. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, исключить из рассмотрения;

После проделанного, числовая ось разобьется на интервалы, на каждом из которых знак дроби не изменяется. Установить знак дроби на каждом из таких интервалов можно непосредственной подстановкой произвольной точки интервала и вычислением знака дроби в этой точке.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 12*, 13*

Применяя метод интервалов решить следующие неравенства:

1*. , 2*. ,

3*. , 4*. ,

5*. , 6*. ,

7*. , 8*. , 9*. , 10*. , 11*. . 12*. . 13*. .

2.

Свойства функции y = ax² + bx + c. Квадратные уравнения и задачи связанные с исследованием квадратичных функций .

Теория

Формулы для запоминания:

Для уравнения : , если .

Для уравнения : , если .

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и его знак определяет количество вещественных корней квадратного уравнения.

Т.(Виета). Для квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения : . Для приведенного квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения : .

Т.(обратная теореме Виета). Если для двух произвольных вещественных чисел выполнены соотношения , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Т. Квадратный трехчлен , для которого может быть разложен на линейные множители , где – корни квадратного уравнения .

Графиком функции является парабола ветвями вверх при и, ветвями вниз при . Кроме того, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если , касается оси абсцисс не пересекая ее, если и не пересекает ось абсцисс если .

При построении графика функции полезно помнить, что:

а) вертикальная прямая является осью симметрии параболы;

б) парабола пересекается с осью симметрии в точке, которая называется вершиной параболы и имеет координаты .

в) если , то парабола пересекается с осью абсцисс в двух точках с координатами ; если , то эти точки совпадают между собой и совпадают с вершиной параболы; если , то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс.

г) парабола пересекает ось ординат в точке с координатами ; вместе с этой точкой на параболе лежит и точка , симметричная ей относительно оси параболы.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 14*

1*. Найти все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения равна сумме квадратов этих корней.

2*. Не решая уравнения , установить значения параметра а, при которых один из корней уравнения в два раза больше другого.

3*. Решить следующие уравнения, используя то, что они имеют общий корень:

и .

4*. Определить при каких значениях параметра а, один из корней уравнения

равен (–1). Найти остальные корни этого уравнения при установленных значениях параметра а.

5*. Найти р и q если известно, что среди корней уравнения: x⁴ – 10x³ + 37x² + px +q = 0 есть две пары равных между собой чисел.

6*. При каких m неравенство выполнено для любых х.

7*. При каких m корни уравнения: x² + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 отрицательны.

8*. При каких m корни уравнения: 4x² – (3m + 1)x – m – 2 = 0 заключены в промежутке x[–1, 2].

9*. Найти коэффициенты уравнения x² + px + q = 0 при условии, что разность его корней равна 5, а разность их кубов равна 35.

10*. При каком значении а оба корня уравнения

х² – (а + 1)х + а + 4 = 0 будут положительны.

11*. При каких значениях m неравенство выполняется для любых значений х.

12*. При каких n корни уравнения: (n – 2)x² – 2nx + n + 3 = 0 находятся на промежутке x[1, 4].

13*. При каких m неравенство выполняется для любых значений х.

14*. При каких р система неравенств выполняется для любых х:

.

3.