Дополнение 2 Исчисление высказываний

Высказывание – это повествовательное предложение, рассматриваемое вместе с его содержанием (смыслом) как истинное или ложное.

Переходя улицу, оглянись по сторонам! Что такое высказывание?	не высказывания
Основной материал для производства гвоздей – это резина. 2+2=3 2+2=4.	высказывание	ложное истинное

Исчисление высказываний (ИВ) – это формализованный фрагмент метаязыка, фиксирующий определенное каноническое описание свойств логических связок, т.е. правила построения составных высказывний из более простых с помощью логических связок и связь истинности построенного таким образом составного высказывания со значениями истинности составляющих.

Переменные ИВ называются пропозициональными переменными. Пропозициональные переменные – это лингвистические переменные, значениями которых мыслятся названия формул языка-объекта. В частности, как и любые другие лингвистические объекты, сами формулы могут использоваться как названия для самих себя, т.е. автонимно. Пропозициональные переменные рассматриваются как элементарные (атомные или неделимые) формулы ИВ. Составную формулу ИВ можно рассматривать как запись словарного алгоритма перерабатывающего надлежащий набор формул языка-объекта, мыслимых как нерасчленимое целое каждая, в составную формулу определенной структуры. Конечно, как и для любой формальной теории, стандартное понимание ИВ не исключает других полезных содержательных интерпретаций.

Существует много аксиоматических формулировок ИВ, различающихся выбором алфавита (совокупность знаков в целом), основных связок, вспомогательных символов, правил построения формул, аксиом и правил вывода. Все эти формулировки эквивалентны как синтаксически так и семантически. Синтаксическая эквивалентность означает, что можно указать “перевод” одной формулировки в другую, т.е. биекцию сопоставляющую формулам одной формулировки формулы другой, в частности, пропозициональным переменным одной формулировки пропозициональные переменные другой, теоремам одной формулировки теоремы другой, аксиомам одной - теоремы или аксиомы другой, правилам вывода одной - правила вывода или допустимые правила вывода другой. Семантическая эквивалентность означает, что при интерпретации с помощью двух истинностных значений соответственным формулам сопоставляются одни и те же функции алгебры логики.

I.Алфавит(alphabet) ИВ составляют

1.Потенциально неограниченный набор пропозициональных переменных или букв, т.е. символов, в качестве которых обычно будем использовать печатные заглавные буквы из начала латинского алфавита А,В,С,…, снабженные при необходимости индексами или/и диакритическими знаками. Формализация требует полной определенности, однако в метаязыковых содержательных рассмотрениях удобнее допускать некоторую свободу, что можно оправдать либо надлежаще расширяя алфавит формальной теории, либо рассматривая знаки, не вошедшие в исходный перечень символов формальной теории, как метаязыковое обозначение для них.

2. Логические связки, в качестве которых может быть использован любой полный набор не обязательно независимых связок. Здесь имеются в виду понятия полноты и независимости, опирающиеся на стандартную интерпретацию логических связок с помощью двух истинностных значений. Обычно ограничиваются не более, чем двухместными связками, что оправдано выразимостью любой функции алгебры логики через не более, чем двухместные функции. Чаще всего используемый набор основных связок

,,,

остальные вводятся в метаязыке в обозначениях (сокращениях) для соответствующих содержательно оправданных составных формул ИВ. Число используемых основных связок определяется компромиссом между желанием сократить число первичных символов и удобством их использования расширение числа основных связок требует расширения списка или усложнения аксиом, фиксирующих свойства связок. Чаще других используемые наборы из двух основных связок это

 или  а также 

Чтобы проиллюстрировать возможность обойтись одной единственной двухместной связкой, ниже из двух возможных,  - антиконъюнкция, и  - антидизъюнкция, воспользуемся .

3. Вспомогательные символы. При использовании не более, чем двухместных связок достаточно скобок: левой и правой.

( , ).

Вспомогательные символы можно исключить, воспользовавшись надлежащими правилами построения формул, которые обычно неудобны в содержательных рассмотрениях.