II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.

Приведение интеграла к каноническому виду зависит от знаков констант А , m , .

Есть шесть различных вариантов распределения знаков этих констант:

1) + – – ; 2) + – +; 3) + + +; 4) – – –; 5) – – +; 6) – + +.

Введем обозначения:

и рассмотрим каждый из шести выделенных случаев.

1. . Область определения подынтегрального выражения

.

a) ; Производя замену переменной интегрирования получаем:

и .

Здесь . Последний интеграл записан уже в каноническом виде.

б) ; Сделаем замену переменной . Отсюда:

.

Получен канонический вид интеграла.

.

2. . Область определения подынтегрального выражения

.

Замена: ; ; .

И, следовательно: =

= = .

Тогда: .

Вновь получен канонический вид интеграла.

3. . Замена: ; .

= и получаем:

– канонический вид интеграла.

4. . Область определения: .

Производя замену , получим:

; ; .

Теперь: =

= = .

= . Это вновь канонический вид исходного интеграла.

5. . Область определения подынтегрального выражения

.

Выполним замену переменной: ; .

= = .

= . Это снова канонический вид исходного интеграла.

6. . Данное выражение всегда отрицательно и, следовательно, подынтегральная функция не определена.

*. В итоге мы получили канонический вид эллиптического интеграла.

§. Эллиптические интегралы.

Интеграл, заданный в каноническом виде может быть сведен к линейной комбинации следующих трех интегралов:

; ; ;

где , , . Перед нами эллиптические интегралы I,II и III рода.

Сделаем в каждом из этих интегралов замену : и, вводя функции , , называемые эллиптическими интегралами в форме Лежандра, для интегралов, записанных в начале параграфа, получим:

= ; = ;

= .

При получаем полные эллиптические интегралы:

и .

§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).

1. Интегральная экспонента: ;

Тогда , .

При этом , если,

Где – постоянная Эйлера и

Рекуррентная формула

позволяет вычислять интегралы вида

2

. Интегральный логагифм: ;

Тогда .

Кроме того ,

.

3

. Интеграл Коши – функция ошибок: ;

Тогда . Название и обозначение от – error function – функция ошибок. Функция нечетная: .

Функция называется интегралом вероятностей (Эйлера- Пуассона).

На рисунке изображены: функция – «колокольчик», изображенный самой тонкой линией; функция – изображена самой толстой линией. Ее амплитуда в два раза больше амплитуды интеграла вероятностей, также изображенного на рисунке, но средней по толщине линией.