§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.

На рисунках слева проиллюстрировано что, полином четной степени может и не иметь вещественных корней, а полином нечетной степени обязательно имеет, по меньшей мере, один вещественный корень. Вопрос: сколько корней, в том числе вещественных, имеет полином произвольной степени?

Т. ( Основная теорема алгебры ). Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, т. е. всякий многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень ( в частности это относиться и к многочлену с вещественными коэффициентами ).

Если , , ,

.

Теорема была доказана Даламбером (1717 – 1783) и Гауссом (1777 – 1855) еще в XVIII веке, хотя лишь в XIX веке эти доказательства были доведены до полной строгости. В настоящее время существует несколько десятков различных ее доказательств.

∆ Сначала cформулируем очень важный для доказательства

Принцип Руше: Приращение Arg f(z) при движении по замкнутому контуру С в положительном направлении равно , где n количество нулей функции f (z) внутри области ограниченной контуром С.

( для контура С₁ содержащем внутри себя начало координат);

( для контура С₂ не содержащем внутри себя начало координат) .

Теперь рассмотрим , и преобразуем его к виду

.

Выберем замкнутый контур C так:

C – окружность, с центром в начале координат пробегаемая против часовой стрелки. Радиус окружности R выберем так, чтобы .

Это всегда можно сделать с помощью выбора достаточно большого R ибо

при

Тогда: .

При этом т.к. константа и ее аргумент не изменяются при обходе контура, т.к. выражение при обходе контура С, описывает контур не содержащий начало координат и, следовательно:

т.е. .

и, согласно принципу Руше, функция имеет внутри контура (т.е. на комплексной плоскости) n корней, возможно совпадающих.

§ Теорема Безу.

Разделить многочлен P(x) на многочлен S(x) значит найти многочлены: Q(x) -неполное частное и R(x) –остаток такие, что: P(x) = S(x) Q(x) + R(x).

Отметим, что deg Q(x) = deg P(x) – deg S(x); deg R(x) < deg S(x); degConst = 0.

Делимое делится на делитель нацело, если остаток тождественно равен 0; деление невозможно, если делитель тождественно равен нулю. Многочлен всегда нацело делиться на Const. Неполное частное определяется делимым и делителем однозначно.

Рассмотрим частный случай, когда degS(x) = 1, т.е. S(x) = x – c.

Тогда .

Вопрос: чему равно ?

Подставив в правую и левую часть x = c, , получим:

Т. (Безу) Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению многочлена в точке .

Следствие 1: Если корень многочлена , то делиться на без остатка и наоборот.

Следствие 2: Если корень многочлена , то может быть разложен на множители: .