Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными

Theorems on approximation of real numbers by rational numbers

Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.

Между любыми не равными вещественными числами расположено бесконечно много рациональных чисел

, R   rQ r<

Если два вещественных числа можно заключить между сколь угодно близкими рациональными числами, то эти вещественные числа равны:

 rsQ r s  

Всякое вещественное число можно заключить между сколь угодно близкими рациональными числами

R  r,sQ r-sr<s.

Если  то Поэтому bи b, т.е. b^ Могло бы оказаться, что b= однако, поскольку в нет наибольшего числа есть rи r>b. Как и b rА^, а потому r< Вставляя в образующиеся промежутки рациональные числа (по только, что доказанному) получим сколько угодно (но не более, чем счетное число) рациональных чисел заключенных между  и 

От противного. Пусть в условиях теоремы  Вставим между ними рациональные числа r₁ и r₂ так что <r₁<r₂< Тогда r<<r₁<r₂<<s  s-r>r₂-r₁>0.Для 0r₁-r₂ это противоречит условию 0s-r

Если рациональное число ₀ такое, что 0₀ (оно есть в числе первой теоремы), то в соответствии с принципом Архимеда в множестве рациональных чисел для достаточно больших натуральных nN и для произвольно взятого а имеем а+n₀ (при произвольном вещественном  n в общем не будет рациональным числом да и действия над вещественными числами еще не определены). Выберем минимальное из таких n (вполне упорядоченность N позволяет это сделать). Тогда либо ^n-1)_ так что можно взять rn-1_ и s=n_ либо n-1_ и нужные числа -x₀ r+n-1__ и S= n-1__

Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)

Dedekind Theorem (Continuity of Rational Number set)

Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).

Сечение А^ множества R вещественных чисел – это разбиение множества вещественных чисел на два непустых, непересекающихся подмножества, называемых классами (нижним А и верхним А^) так что любое вещественное число из нижнего класса меньше любого числа из верхнего класса ^

1) А^ 2) ^R, 3) ^=Ф 4) ^^ ^

Вещественное число  производит сечение ^ множества вещественных чисел R, если оно либо является наибольшим в нижнем классе _maxA, либо наименьшим в верхнем классе _minA^

Число наибольшее в нижнем классе А можно присоединить как наименьшее к верхнему классу А^ исключив из нижнего, и наоборот; эта операция дает два сечения множества вещественных чисел, которые производятся одним и тем же вещественным число и отождествляются: если ^- сечение и

_max  то \{_}^_- тоже сечения и _min^_

_=min^, то _^\_ тоже сечение и _max _

Таким образом, вещественные числа есть классы эквивалентности сечений множества вещественных чисел.

Сечения АА^ множества вещественных чисел R у которых одновременно в нижнем классе А есть наибольший элемент, а в верхнем классе А^ - наименьший не существуют.

От противного. Если _max и ^_min^ то вставляя между ними, _^ вещественное число, скажем _ придем к противоречию:  не может лежать в классе А т.к._max и  не может лежать в классе А^ т. к. ^,_min^

Не существуют также сечения ^ вещественных чисел у которых одновременно в нижнем классе А нет наибольшего, а в верхнем классе А^ - наименьшего числа. Иными словами имеет место теорема Дедекинда. Всевозможные приближения вещественными числами по недостатку к избытку однозначно определяют вещественное число.

Теорема Дедекинда о непрерывности множества вещественных чисел. Всякое сечение множества вещественных чисел производится некоторым вещественным числом:

^ либо R ₀max либо ₀min ^

Очевидно, что всякое вещественное число _ производит сечение ^ множества R вещественных чисел: нижний класс такого сечения это либо xR|x<_-,, либо xR|x_, а верхний - А^xR|x__, либо ^xR|x>__, соответственно.

Определим сечение множества рациональных чисел полагая Q и ^Q^ Из определяющих свойств сечений множества вещественных чисел следуют для так определенных классов А и А^ все определяющие свойства сечения ^ множества рациональных чисел.

(QQ^QQ^QQ)^Q 

QQ ^Q^Q R =Q.

_^ сечение множества рациональных чисел – вещественное число _. Поэтому, либо , либо _^ т.к. ^R.

Если _ и не является там наибольшим, то  ₀. Тогда вставляя между ними рациональное число r,_r приходим к противоречию: с одной стороны r т.к.  а потому  и любое число меньшее  с другой стороны, r^ т.к. r>_ и так определено _.

Случай _^ рассматривается аналогично

Всякое число входит в нижний (верхний) класс вместе со всеми числами меньшими (большими) его. Всякое числовое множество, которое не пустое, не совпадает с множеством всех чисел и вместе с любым числом содержит и все числа меньшие (большие) его, является нижним (верхним) классом некоторого сечения.

^ и  имеем ^, т.к. иначе (т.е. если  ^ Остальные свойства сечений – это свойства дополнений множеств или оговорены в условии