§ Примеры построения графиков функций.

1. . 2. .

3. Построить график функции заданной неявно: . (Декартов лист).

Введем параметризацию: . Подставляя в уравнение, получим: .

И, наконец, задаем функцию параметрически: , ; .

Рассмотрим поведение функций и на границах области определения, т.е. при t стремящихся к единице справа и слева, а также при t стремящихся бесконечности.

; .

; .

Полученные соотношения говорят о том, что функция может иметь наклонные асимптоты. Найдем наклонные асимптоты, если они есть.

, .

Э

ти пределы одинаковы при и при , т.е. является асимптотой функции при .

При t = 0 функции и обращаются в ноль (точка пересечения с осями). При этом график функции подходит к началу координат из первой и второй четверти.

Кроме того: , .

, .

Т.е. график функции подходит к началу координат из первой и четвертой четверти, но начала координат не достигает.

Для исследования динамических характеристик функции найдем производные функций и .

,

.

Найдем нули найденных производных: при 1). и 2). .

при .

И, наконец при 1). и 2). .Изменение знака производной показывает что, в случае 1) функция имеет минимум, а в случае 2) функция имеет максимум и в этих точках касательная к графику функции горизонтальна.

При производная не существует, а и функция в указанной точке имеет максимум.

График указанной функции приведен выше. Построенная кривая называется Декартовым листом.

РАЗДЕЛ. Комплексные числа.

§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.

Исторически комплексные числа возникли при попытках решения алгебраических уравнений 3-й степени. Полученный рецепт вычисления корней (Формулы Кардано,1535 г.) в так называемом “ неприводимом ” виде, давали правильные вещественные корни уравнения с вещественными коэффициентами, когда в промежуточных выкладках допускались обычные алгебраические действия (сложение, умножение, целые степени, корни) над выражениями которые содержали знак не имеющей смысла во множестве вещественных чисел, поскольку квадрат любого вещественного числа не отрицателен : . Оказалось невозможным по настоящему избавиться от таких выкладок , не пряча их в неоправданно громоздкие правила весьма непонятного (если не пользоваться явно ) происхождения и смысла.

В случае квадратичного уравнения с вещественными коэффициентами неизбежно- не приводит в этом случае к каким-либо трудностям сть введения комплексных чисел отсутствует: отказ от рассмотрения комплексных чисел при вычислении вещественных корней, если они есть.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел как векторов или точек на плоскости, лишающая их статуса сугубо формального приёма, действительно полезна и естественна только для того, кто в достаточной мере освоил метод координат (Р.Декарт,1637) и имеет представление о векторной алгебре (Дж., 1881-1884 г.). Без этого такая интерпретация сама должна выглядеть весьма формальной и искусственной. Хотя эти идеи прошли длительный путь развития, мы указываем лишь годы опубликования основополагающих трудов.

При изучении комплексных чисел важно параллельно развивать представление о формально-алгебраическом и начально-геометрическом аспектах, устанавливая, где это необходимо, связь между ними.

Введём мнимую единицу i: Def: .

Конечно, мнимая единица не является вещественным числом:. Обозначение мнимой единицы буквой i ввёл Л.Эйлер,1794; i - первая буква латинского imaginaries-мнимый, воображаемый. поскольку имеет два значения + i и -i т.е. есть два комплексных решения уравнения , то отождествлять мнимую единицу i с выражением некорректно.

Считая множество вещественных чисел лишь подмножеством некоторого более широкого множества комплексных чисел (с- первая буква латинского - complex) куда входит и мнимая единица i . Потребуем чтобы в были определены сложение и умножение с обычными (как и в ) алгебраическими свойствами. Иными словами:

Предполагаем что, множество комплексных чисел является полем.