§ Операции над множествами

1°. А ∪ В º {xÎА Ú хÎВ} А ∪ В объединение множеств;

2°. А ∩ В º {xÎА Ù хÎВ} А ∩ В пересечение множеств;

3°. А \ В = {xÎА Ù хÏВ} А \ В разность множеств;

4°. Объединение и пересечение множеств коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно

по отношению друг к другу.

А ∪ В = В ∪ А; А ∩ В = В ∩ А; ((А ∪ В) ∪ С) = (А ∪ (В ∪ С)); А∪(В ∪ С) = (А ∪ В)∪С;

(А ∪ В)∩С = (А ∩ С)∪(В ∩ С)); (А ∩ В)∪С = (А ∪ С)∩(В ∪ С)).

5°. Объединение и пересечение идемпотентны:

А ∪ А = А ∩ А = А; А∪Æ = А; А\Æ = А; А∩Æ = Æ; Æ\А = Æ; А\А = Æ.

6°. Разность дистрибутивна по отношению к объединению, пересечению и разности:

(А ∪ В)\С = (А\С) ∪ (В\С); (А ∩ В)\С = (А\С) ∩ (В\С); (А\В)\С = (А\С)\(В\С).

7

°. Дополнение множества в множестве Е:

Е\А º С_ЕА = Ā.

При этом .

8°. Декартово (прямое) произведение множеств:

А´В = {(a, b) ½aÎA Ù bÎB}.

При этом: А´В ¹ В´А (если В ¹ А); А´А = А²; А´Æ = Æ´А = Æ; (А´В)´С ¹ А´(В´С);

;

.

§ Операции соответствия между множествами

П

усть имеется два множества X и Y элементов, вообще говоря, произвольной природы. Пусть задан закон или правило f, по которому элементам множества X ставятся в соответствие элементы множества Y. Тогда говорят, что задана функция или отображение f между множествами X и Y. Если множество X числовое, то говорят о функции числового аргумента. Если множество Y числовое, то говорят о числовой функции .

Множество элементов xÎX, которым поставлены в соответствие элементы множества Y называется областью определения отображения f и обозначается D(f); множество элементов уÎY, которые поставлены в соответствие элементам множества X называется областью значений отображения f и обозначается Е(f);

Физические типы соответствий:

1°. Сюръективное отображение (отображение «на»):

"уÎY $xÎX y = f(x);

­ (не обязательно $!)

2°. Инъективное отображение (вложение):

Е(f) Ì Y, x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂).

3°. Биективное отображение (и сюръективное, и инъективное):

D(f) =X ;

Е(f) = Y; x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂).

Def: Множества Х и Y называются равномощными, если существует биективное отображение множества Х на множество Y (взаимнооднозначное соответствие).

Def: Множество равномощное множеству натуральных чисел ℕ называется счетным.

D

ef: Множество равномощное множеству Х º {x ú xÎ(0, 1)} называется множеством мощности континуум.

На рисунках приведены примеры биективных отображений, иллюстрирующих что:

а) множество чисел на интервале (0, 1) и множество чисел на интервале (0, 2) - равно-

мощны.

б) множество чисел на интервале (0, 1) и множество чисел на вещественной оси – равно-

мощны.

в) множество точек на окружности с выколотой точкой и множество чисел на вещественной оси – равномощны.

г) множество ¤ рациональных чисел - счетно.

1 ® 2 3 ® 4 5 6 …

↙ ↗ ↙ ↗ …

↗ ↙ ↗ …

.↙…↗ … … … … …

¯↗

В таблице приведен один из возможных способов нумерации рациональных чисел, что и является доказательством счетности множества ¤ рациональных чисел .

5) Множество вещественных чисел хÎ(0, 1) не счетно.

∆ Доказательство проведем от противного. Допустим, что множество вещественных чисел хÎ(0, 1) счетно и, следовательно, их можно пронумеровать. Запишем все эти числа в порядке нумерации:

1. 0, Запишем еще одно число из промежутка (0, 1).

2. 0, 0,

3. 0, При этом, пусть ; ; ; …..

4. ……………… Тогда, совершенно ясно, что это число не совпадает ни

……………… с одним из чисел приведенных в списке, несмотря на то,

что оно принадлежит промежутку (0, 1). Следовательно, по крайней мере одно из чисел промежутка (0, 1), не получило никакого номера. Это противоречит предположению о счетности множества чисел хÎ(0, 1) . Противоречие и доказывает теорему. ▲