§ Тригонометрическая форма комплексного числа.

Р

ассмотрим комплексное число , заданное в алгебраической форме. Перейдем от декартовой системы координат к полярной:

, .

Тогда получим: .

Полученная запись называется тригонометрической

формой записи комплексного числа.

При этом величина называется модулем комплексного числа и задает расстояние от точки z до начала координат. Величина задает угол между положительным направлением оси абсцисс и радиусом - вектором направленным в точку z. Эта величина называется аргументом комплексного числа, обозначается и находится неоднозначно а с точностью до величины кратной . . Здесь и называется главным значением аргумента комплексного числа (иногда главным значением аргумента комплексного числа называется угол, удовлетворяющий условию ). Какое из этих значений считается главным должно быть ясно из контекста.

F⁰. Два комплексных числа, заданные в тригонометрической форме равны тогда и только

тогда когда их модули совпадают, а аргументы либо совпадают, либо отличаются на

величину кратную .

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен (его можно считать равным чему угодно).

Пусть , два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме. Тогда непосредственным умножением легко проверить, что:

, т.е.

при умножении комплексных чисел модули чисел умножаются, а аргументы складыва- ются, а при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Тогда формула задает правило возведения комплексного числа в натуральную степень.

Кроме того, получена весьма важная формула, которая называется формулой Муавра:

.

§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.

Def: Корнем натуральной степени из комплексного числа называется другое комплексное число такое что, при возведении его в степень получим вновь исходное число . .

Пусть . Тогда .

Из условия равенства двух комплексных чисел получаем:

 .

Получена формула извлечения корня натуральной степени из комплексного числа.

, Здесь k = 0, 1, 2, …, n–1.

При других значениях k повторяются уже полученные корни. Отметим что, корень из комплексного числа имеет ровно различных значений.

Пример:

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Все шесть корней шестой степени их единицы расположены на окружности единичного радиуса в вершинах правильного шестиугольника.

§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.

Аналогично тому, как мы строили расширенную точкой числовую прямую, можно и комплексную плоскость дополнить точкой и получить расширенную комплексную плоскость.

Для вещественных чисел: Для комплексных чисел:

Такая проекция сферы на плоскость называется стереографической проекцией, а проектируемая сфера называется сферой Римана.

Пополненная бесконечно удаленной точкой комплексная плоскость, топологически эквивалентна сфере.

Понятие окрестности и проколотой окрестности точки на комплексной плоскости задаются естественным способом: , .