Непрерывность и дифференцируемость
Аудиторные занятия. Демидович: 688, 689, 690, 692, 694, 700, 1*, 2*, 3*, 4*,
5*, 6*, 846, 850, 854, 871, 881, 895, 1*, 2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 7*, 8*, 9*,10*,
11*,12*, 13*,14*, 985(а, б), 986(а, б, в, г), 999(а, б, в. г), 1036(а, б, в, г),
10(39,41,48,86,87,88,89,92,94), * 1100(а,б), 11(15,25,41,56,59,61,62,65,90) *
А. Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек:
688.
.
689.
.
690.
.
692.
.
694.
.
700.
.
1*.
.
2*.
.
3*.
.
4*.
.
5*.
.
6*.
.
Найти производные следующих функций:
846.
.
850.
.
854.
.
871.
.
881.
.
895.
.
1*.
.
2*.
.
3*.
.
4*.
.
5*.
.
6*.
.
7*.
.
8*.
.
9*.
.
10*.
.
11*.
.
12*.
.
13*.
.
12*.
.
Найти ух если:
985.
а)
;
б)
.
986.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
999. Исследовать на дифференцируемость:
а) y = (x – 1)(х – 2)2(х – 3)3 ; б) y = cosx ; в) y = 2 – х2 sin2x; г) y = arcsin(cosx).
1036. Определить область существования обратных функций х = х(у) и найти ху если:
а) y = x + lnx; б) y = shx; в) y = x + ex; г) y = thx.
Найти ух, если:
1039.
,
.
1041.
.
1048. х2 + 2ху – у2
= 2х.
Найти dy, если:
1086.
.
1087.
.
1088.
.
1089.
.
1092.
.
1094.
.
*).
Найти: а)
;
б)
.
1100. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:
а)
;
б) sin29.
Найти производные указанного порядка:
1115.
у = (1 + х2)arctgx;
?
1125. y = f(x2);
?
1141.
;
?
1156. у = x(2x – 1)2(х
+ 3)3; у(6), у(7) –
?
1199.
;
y(8) – ? 1161.
;
y(20) – ? 1162.
;
y(10) – ?
1165.
;
y(50) – ? 1190.
;
y(n) – ?
*). Найти d2f, если f = f(1 + x2), где x = sint.
Д1. Демидович: 697, 702, 717, 720, 723, 725, 760, 762, 852, 855,
908, 911, 934, 979, 984, 1004, 1040, 1044, 1051, 1054.
687.
Определить характер точек разрыва
функции
.
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции:
702.
у = х – [x]. 717.
.
720.
.
723.
.
725.
.
760. Найти обратную функцию х = х(у), если у(х) = х + [x].
762. Показать, что уравнение ctgx = kx kR и x(0, ) имеет единственный непрерывный корень х = х(u).
Найти производные функций:
852.
.
855.
.
908.
.
911.
.
934.
.
979.
Найти у и
построить графики у(х) и у(х),
если:
.
984.
Производная от логарифма данной функции
y = f(x) называется логарифмической
производной этой функции:
.
Найти логарифмическую производную,
если: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
1004. Для f(x) определить левую f–(x) и правую f+(x) производную, если
.
Найти ух, если:
1040.
.
1044.
.
1051.
.
1054. а)
= а (спир.
Архимеда); б) =
а(1 + cos) (кардиоида);
в) = аеm (логарифмич. спираль); , – полярные координаты.
Д2. Демидович: 1090, 1093, 1096(г, д), 1102, 1103, 1105, 1114, 1119, 1122, 1126, 1128, 1132, 1142, 1144, 1148, 1157, 1158, 1164, 1166, 1169, 1173, 1189, 1203, 1207.
1090.
Найти: а) d(xex); б) d(sinx
– cosx); в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж) dln(1 – x2); з)
;
и)
.
1093.
Найти dy, если
.
1096. г)
;
д)
.
С помощью дифференциалов, приближенно вычислить: 1102. arctg1.05. 1103 lg11.
1105.
Доказать приближенную формулу:
(а > 0), где х
<< a и с ее помощью вычислить: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найти
:
1114. y = tgx. 1119. y
= [sinlnx + coslnx]. 1122.
.
Найти
:
1126.
.
1128. y = f(lnx).
Найти
d2y: 1132.
.
1133. y = xx.
Найти
:
1142.
.
1144.
.
1148. х2 – ху + у2
= 1.
Найти производные указанного порядка:
1157.
;
у – ? 1158.
у(10) – ? 1164.
;
у(5) – ?
1166.
;
у – ? 1169.
y = excosx; yIV
– ?
1173. Найти d10y, если y = xcos2x.
1189.
Найти y(n), если
.
Найти y(n): 1203. y = x2sinax. 1207. y = exsinx.