§ Второй замечательный предел

. ∆ Рассмотрим 0 < x < 1 и функцию E(x) = = n  целая часть

от . И тогда для каждого n, существует x , такое что : .

Построим последовательность , такую что: .

Получим, что при n → ∞ x_n→ 0 и:

  

• . Из этого неравенства получаем :

.

У дроби в левой части числитель стремится к e, а знаменатель к 1 и дробь стремится к e.

Произведение в правой части также стремится к e, ибо первый сомножитель стремится к e, а второй к 1. Тогда, по принципу двустороннего ограничения

 . ▲

Полученный предел называется вторым замечательным пределом.

§ НепрЕрывность показательной функции

A). Докажем, что .

∆ Представим n в виде . Затем раскроем скобки по биному Ньютона

. Тогда

 .

И получаем: 

 . Выберем . Получаем, что:

т.е. . ▲

В). ∆ Теперь заметим, что при и : .

Из принципа двустороннего ограничения заключаем, что:

 .

Следовательно:

,

и .

Тогда:

.

И , наконец:

т.е. . Полученное соотношение означает, что функция непрерывна в нуле. ▲

С). ∆ =

= т.е. .

Полученное равенство доказывает, что функция непрерывна xR. ▲

§ НепрЕрывность логарифмической функции

Мы уже установили, что последовательность монотонно возрастает, ограничена сверху и , а последовательность монотонно убывает, ограничена снизу и . Тогда:

 

• .

Логарифмируем неравенство : . Получаем два неравенства:

а) б).

Следовательно: .

Заменив в этом неравенстве n на –n получим:

.

Объединяем полученные выше два неравенства:

. Выбирая , получаем: .

Т.е. или .

Следовательно, функция непрерывна в точке .

Теперь рассмотрим .

Отсюда заключаем, что: .

Следовательно, функция непрерывна в точке bR.

§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями

Из второго замечательного предела следует, что:

1. .

Используя непрерывность логарифмической функции, меняем местами знак предела и знак функции.

2. . Здесь достаточно вспомнить связь между логарифмами с различными основаниями.

3. . Для перехода от первого предела ко второму выполнена замена переменных в предельном переходе .

4. . Осуществлен переход к натуральному основанию.

5. .

Использована теорема о пределе произведения двух функций, имеющих предел.

§ СТЕПЕННО-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Рассматривается степенно-показательное выражение

и при этом .

Т. Пусть пределы функций, стоящих в основании и показателе существуют и конечны и предел основания больше нуля R , R и .

Тогда .

∆ Утверждение теоремы следует из следующей цепочки преобразований:

.

И, при этом, использовалась только непрерывность показательной и логарифмической функций. ▲.

Еще действия над несобственными элементами:

; ;

; ; .

В связи с тем , что теорема налагает некоторые ограничения на основание и показатель степенно-показательного выражения появляется три новых неопределенности:

, , .

Рассмотрим степенно-показательное выражение :

.

И получаем весьма полезное соотношение : . Это соотношение справедливо если при .

Пример. .

§ Символы асимптотического сравнения.

Напоминаем: Если то функция f (x) называется бесконечно малой величиной и обозначается .

Если такое, что при , то функция называется ограниченной и обозначается .

Def.

1. f (x) = o(g(x)) при xa  h(x) f (x)= h(x)g(x) и h(x)=o(1) .

Читается f (x) есть величина бесконечно малая по сравнению с g(x).

2. f (x) = O(g(x)) при xa  h(x) f (x)= h(x)g(x) и h(x)=O(1) .

Читается f (x) есть величина ограниченная по сравнению с g(x).

3. f (x) ~ g(x) при xa  h(x) f (x)= h(x)g(x) и h(x)=1+o(1) .

Читается величины f (x) и g(x) эквивалентны.

4. f (x) ≍ g(x) при xa  h(x) f (x)= h(x)g(x) ;

h(x)=O(1) и отделена от нуля.

Читается величины f (x) и g(x) одного порядка.

Немного другие формы записи тех же определений.

Def.

1. o(f(x)) =  ,

2. O(f(x)) =,

3. f (x) ~ g(x)  ,

4. f (x) ≍ g(x)  .

При этом

1˚ f (x) = o(g(x))  f (x) = O(g(x))

2˚. f (x) ~ g(x)  f (x) ≍ g(x) 

3˚ f (x) ~ g(x)  f (x) = O(g(x)) 

4˚ f (x) ≍ g(x)  f (x) = O(g(x))  g (x) = O(f(x)) .

Все эти соотношения транзитивны

1˚ f (x) = o(g(x)) g (x) = o(h(x)) f (x) = o(h(x)) 

2˚ f (x) = O(g(x)) g (x) = O(h(x)) f (x) = O(h(x)) 

3˚ f (x) ~ g(x) g (x) ~ h(x) f (x) ~ h(x) 

4˚ f (x) ≍ g(x) g (x) ≍ h(x) f (x) ≍ h(x) .

Отношения эквивалентности, ограниченности и однопорядковости рефлексивны, т.е.

1˚ f (x) ~ f (x)  2˚ f (x) = O(f (x))  3˚ f (x) ≍ f (x) .

Отношение пренебрежимости не рефлексивно и не симметрично

1˚ f (x) ≠ o(f (x)) 2˚ f (x) = o(g(x))  g (x) ≠ o(f(x)).

Отношение эквивалентности и однопорядковости симметрично

1˚ f (x) ~ g(x)  g (x) ~ f (x)

2˚ f (x) ≍ g(x)  g (x) ≍ f (x) .

Отношение относительной ограниченности антисимметрично

f (x) = O(g(x))  g (x) = O(f (x))  f (x) ≍ g(x).

В произведениях и в суперпозициях о-символов получаем, как результат, наименьшее о, а в суммах наибольшее О.

; .

Все отношения (кроме эквивалентности) не чувствительны к знаку входящих функций.

Def. Если функция f (x) может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, причем второе есть величина бесконечно малая по сравнению с первым , то первое слагаемое f ₀(x) называется главным членом функции f (x) .

Т˚. Две величины эквивалентны тогда и только тогда, когда разность между ними есть величина бесконечно малая по сравнению с любой из них.

Δ f (x) ~ g(x)      .

Аналогично получаем, что . ▲

Т˚. Если эквивалентные величины имеют пределы, то эти пределы равны. Δ ▲.

Т˚. Главный член произведения равен произведению главных членов.

Δ Пусть и т.е. и являются главными членами функций и соответственно. Тогда

=

==

==

=.

Следовательно, есть главный член для произведения . ▲

Замечание Обращаем внимание на то, что главный член суммы (разности), вообще говоря, не равен сумме (разности) главных членов.

На (+∞) показательная функция с основанием больше 1 (меньше 1) растет (убывает) быстрее любой степени , а логарифмическая функция возрастает медленнее любой степени:

 .