• Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:

f (x) = b : Û aÎD( f )¢ Ù "e>0 $d>0 | "xÎD( f ) 0 < |x-a| < d Þ | f (x) -b| < e.

************ °°°°°°°°°° ¾¾¾ ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ °°°°°°°°°°°° ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ ¾¾¾¾¾¾

Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:

а) подчеркнутое звездочками указывает на то, какой предельный процесс описывается;

б) подчеркнутое кружечками указывает на то, что точка а обязательно должна быть точкой сгущения и значения x выбираются из области определения функции. При сокращенной записи, это зачастую не пишут несмотря на обязательность.

И отметим, что при aÎD( f )¢ о пределе имеет смысл говорить, а при aÏD( f )¢ о пределе вообще не имеет смысла говорить;

в) подчеркнутое сплошной линией указывает куда стремится функция f (x) ® b ;

б) подчеркнутое линией из точек указывает куда стремится аргумент x ® а.

• Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:

f (x) = b : Û "e>0 $d>0 | 0 < |x-a| < d Þ | f (x) -b| < e.

************* ¾¾¾ ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ ¾¾¾¾¾¾

Если изменяется характер стремления функции или аргумента то записать модифицированное определение предела поможет нам

• Словарик

А)

f (x) ® b "e>0 ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ | f (x) -b| < e;

f (x) ® b+0 "e>0 ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ b£ f (x) < b+e;

f (x) ® b-0 "e>0 ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ b-e< f (x) £ b;

f (x) ® ¥ "e ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ | f (x) | > e;

f (x) ® +¥ "e ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ f (x) > e;

f (x) ® -¥ "e ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ f (x) < e.

Б)

x ® а $d>0 | 0 < |x-a| < d Þ

x ® а+0 $d>0 | a < x< a+ d Þ

x ® а-0 $d>0 | a-d < x < a Þ

x ® ¥ $d | |x| > d Þ

x ® +¥ $d | x > d Þ

x ® -¥ $d | x< d Þ

Пользование этим словариком может существенно упростить процесс записи определения предела функции.

Примеры.

1°. f (x) = x sin , x ¹ 0. Þ = 0.

В самом деле: | f (x) - 0| = | f (x)| = | x sin | = | x |×|sin | £ | x | < e.

2°. f (x) = Const Þ = Const.

Действительно: | f (x) - Const | = | Const - Const | = 0 < e.

Т^○ ( О единственности предела) Предел функции при x®a, если он существует, определяется однозначно.

∆ Доказательство проводится от противного и основано на свойстве отделимости точек числовой прямой ▲

§ Непрерывность функции

Def. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x₀, если предел функции равен значению функции в точке. .

Def. Функция, по определению, считается непрерывной в каждой изолированной точке своей области определения.

Def. Функция f (x) непрерывна в точке x₀

:Û x₀ÎD( f )¢ Ù "e>0 $d>0 | "xÎD(f ) |x-x₀|<d Þ | f (x) -f (x₀) |<e.

Def. Функция f (x) непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Def. Точки замыкания области определения функции в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва функции.

Примечание: Непрерывность функции означает, что знак функции и знак предела перестановочны: .