- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
Сложение вещественных чисел
Addition Real Nambers
Додавання дійсних чисел
Определим сложение и умножение числовых множеств полагая,
z |x y z= x+y }={x +y|x y
z |x y z=xy}={xy |x y
Эти определения годятся для любых чисел, хотя пока их можно было бы применять лишь к числам рациональным, для которых сумма и произведение уже определены.
Сложение и умножение числовых множеств коммутативны и ассоциативны, обладают нулем множеством, состоящим из одного нуля 0, и единицей – множеством, состоящим из одной единицы связаны между собой дистрибутивным законом, но, в общем, когда числовое множество не состоит из одного единственного элемента, у него нет противоположного и обратного
Z , (Z
Определим также множество из противоположных элементов множества Х:
x|-x
Н
х -х
0
а также множество -1 из обратных элементов множества , если оно не содержит нуля:
-1=x|x-1 если 0 1
Если непустое множество Х, не является одноэлементным множеством, то его сумма с множеством - из его противоположных элементов тоже не является одноэлементным множеством она содержит 0 и вместе со всяким числом содержит противоположное ему число на числовой прямой эти множества симметричны относительно начала координат
x-y|x,y
аа
аа)аааа.
Если непустое множество Х, не содержащее нуля, не является одноэлементным, то его произведение на множество Х-1из его обратных элементов тоже не является одноэлементным множеством оно содержит 1 и вместе со всяким числом содержит обратное ему число.
Х-x/y|x,y -1
-1 а-1а-1-1
аааааa
+x|x и x>0}-множество положительных чисел из множества Х – положительная часть множества Х.
Х-x|xx<0}множество отрицательных чисел из множества Х-отрицательная часть множества Х.
=(Х-1 \{0}=
-1Х, (-1 ,
На числовой прямой множества точек Х и Х-1 связаны друг с другом инверсией относительно нульмерной единичной сферы |x|=1, представляющий собой двухточечное множество и связаны инверсией относительно точки 1, а и = - инверсией относительно точки –1. Точки связанные инверсией относительно нульмерной единичной сферы х а) одного знака и б) произведение их расстояний до начала координат (модулей) равно 1.
Сложение вещественных чисел. Суммой вещественных чисел – сечений = и называется вещественное число – сечение C|C внутренность конечного (верхнего) класса
которого есть, по определению сумма внутренностей нижних (верхних) классов слагаемых:
Другими словами сумма вещественных чисел – это вещественное число, которое заключено между всевозможными суммами рациональных чисел из внутренностей нижних классов слагаемых и всевозможных суммами чисел из внутренностей верхних классов слагаемых:
а, b, а, b аb<y<ab
Корректность этого определения следует из следующих утверждений.
Множество действительно может рассматриваться как внутренность нижнего класса некоторого сечения; одновременно множество является внутренностью верхнего класса того же сечения. Сумма вещественных чисел определена данным определением для любых двух вещественных чисел и однозначно, т.е. не может быть разных вещественных чисел удовлетворяющих определению суммы для фиксированных слагаемых.
Действительно, вместе с любым числом а+b, a, b содержит все меньшие: а+br а+b-r а-ab-r)а, т. е. а-(а+b-r); после прибавления к обеим частям последнего неравенства числа b имеем r=а-(а+b-r)+bb.
В нет наибольшего числа, поскольку наибольших чисел нет по определению в и . Поэтому для а и b найдутся большие из тех же классов аа1, а2 bb2 b2.Поэтому для всякого числа а+b из в этом множестве есть большее число а2+b1.
Аналогичные рассуждения показывают, что можно рассматривать как верхний класс некоторого сечения.
Любое число из меньше любого числа из . Действительно, если а+b a+bгде А, b, а, b и, следовательно, аа и bb, то складывая последние неравенства получаем требуемое, а+b аb.
В и можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного . По третьей теореме об аппроксимации есть числа а, а; b; b разность которых меньше /2: 0<аа/2, 0bb/2, откуда 0аbа+b)=(аа)+(bb) Поэтому множество Q\( содержит не более одного элемента (числа), согласно второй теореме об аппроксимации. Если указанное множество пустое (=, то =С, C C|Cоднозначно определенная сумма. Если Q\()={c},где сQ, то с=max(c}=min(c так что (cсечение производимое числом с. Подчеркнем, что наличие такого с не означает, что числа-слагаемые и рациональны
Данное определение суммы вещественных чисел сохраняет сумму рациональных чисел неизменной. Точнее, сумма а+ сечений b и b производимых рациональными числами а0 и b0 есть сечение (а0 +b0)* производимое их суммой:
а(а0+b0)*
a, b, а b аа0аb<b0<bbab0<b. Поэтому а0+b0 удовлетворяет условием налагаемым на сумму и так как последняя определена однозначно, то она совпадает с сечением (а0+b0)
В терминах сечений естественно получать лишь те свойства суммы, которые достаточны для аксиоматического построения теории вещественных чисел: ассоциативность, коммутативность, существование нуля, существование противоположного, свойства неравенств (порядка) относительно сложения.
1.Коммутативность: независимость суммы от порядка слагаемых.
2.Ассоциативность: независимость суммы от порядка выполнения действий (расстановки скобок).
3.Существование нуля: сечение 0 производимое 0 обладает свойством 0 прибавление нуля к любому числу не меняет его.
4.Существование противоположного: для любого числа его сумма с противоположным - равна нулю (
5.Неравенство между вещественными числами сохраняется при прибавлении к обеим его частям одного и того же числа:
+=+, из-за коммутативности сложения рациональных чисел.
+ из-за ассоциативности сложения рациональных чисел.
Q-|Q+Q-Q*. Для а=А имеем Q-+ Q+.
Действительно, в нет наибольшего. Всякий элемент из Q меньше некоторого элемента из как сумма с отрицательным числом. Поэтому Q-+. Для всякого элемента из найдется равный ему элемент из Q-+точка числа Q-+и, следовательно, Q-+. В самом деле, если а то можно указать а1 большее а: аа1. Но так как а=а1+(а-а1), где а1, а аа2 т.е. а-а2Q-,то аQ-.
Для произвольного сечения множества (-А) и (-А из противоположных элементов для классов А и А, непусты (ибо таковы сами А и А), не пересекаются (по той же причине с учетом того что (-а)=(-а) а=а), их объединение есть Q (так как AA=Q,то rQ либо -r т.е. -r=а или а значит либо - r и следовательно r наконец, для r и имеем (-r) и следовательно (-r)r т.е. rr. (-)+=Q+,+(-Q- т.е. Легко понять, что (-) – внутренность класса (-А), (-а)+а для r а такие что 0-a< Тогда а1, причем aaa)=r все числа из Q+ содержатся в (-)+.
. Сохранение строгого неравенства получается “алгебраически” из того что