Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.

Теория.

Произвольная система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и не совместной в противном случае. При этом совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и не определенной если она имеет более одного ( а именно бесконечно много) решений.

Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными исследование на совместность производится очень просто.

Если задана система , то:

а) если , то система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение;

б) если , то система не совместна, т.е. не имеет решений;

в) если , то система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений;

Для систем линейных уравнений с количеством неизвестных более двух исследование на совместность более сложно и будет изучено позднее.

Основным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса исключения неизвестных, который, при некоторой модификации, позволяет как исследовать систему на совместность – не совместность, так и, в случае совместности, найти решения как определенных так и не определенных систем.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 15*

Исследовать на совместность и решить системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

1*. ; 2*. ;

3*. ; 4*. ;

5*. ;

6*. .

7*. Числа a и b таковы, что система имеет единственное решение х = 1, у = 1. Найти a и b.

8*. При каких a и b система имеет бесконечно много решений?

9*. При каких a система не имеет решений?

10*. Числа a, b и с таковы, что система

имеет бесконечно много решений,

причем х = 1, у = 3, одно из них. Найти a и b.

11*. Найти все такие значения а, чтобы при любом b, нашлось такие с при которых система имеет хотя бы одно решение:

а) ; б) .

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса исключения неизвестных:

12*. ; 13*. ;

14*. ; 15*. .

4.

Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.

Схема Горнера. Возвратные уравнения.

Теория.

Алгебраическим полиномом степени называется конструкция вида:

.

Пусть заданы алгебраические полиномы: и , причем . Тогда существуют два других полинома – один степени, другой – степени, не превышающей числа , такие что . Полином называется неполным частным от деления полинома на полином , а полином остатком от такого деления. Если, при этом, то говорят, что полином делится на полином без остатка, а полином называется полным частным, или просто частным от деления полинома на полином .

В случае приведенная формула имеет вид

.

Т. (Безу) Остаток от деления полинома на двучлен равен значению полинома в точке , т.е. .

Т. ( следствие из т Безу) Полином делится на двучлен тогда и только тогда когда является корнем полинома .

Т. ( следствие из т Безу) Если является корнем полинома , т.е. то

.

Это следствие из теоремы Безу позволяет многочлен с известными (полностью или частично) корнями разложить на множители.

Т. Если алгебраическое уравнение имеет целые коэффициенты и рациональное число является его корнем, то число является делителем свободного члена уравнения, а число является делителем старшего коэффициента уравнения.

Это утверждение позволяет из всего множества рациональных чисел сразу отобрать только те, которые могут быть корнями уравнения. Установить, являются ли они корнями уравнения можно непосредственной подстановкой. При этом, удобно значение полинома в точке вычислить способом, который предложенным Горнером. Проиллюстрируем схему Горнера на конкретном примере (это верно передает суть метода и не загромождает выкладку).

Полином запишем в виде, предложенном Горнером:

.

Запись, стоящая справа позволяет вычислить значение полинома -й степени в точке не более чем за операций. Оказывается это самый экономичный способ вычисления значения полинома в точке. На основе такой записи полинома можно построить вычислительную табличку, которая, зачастую, также называется схемой Горнера.

В верхней строке таблицы ( кроме первой клетки) записываются коэффициенты исходного полинома в порядке убывания степеней. В первой клетке нижней строки таблицы записывается значение аргумента, при котором вычисляется значение полинома. Остальные клетки нижней строки заполним по формулам:

.

–	an	an-1	an-2	… …	a2	a1	a0
c	bn-1	bn-2	bn-3	… …	b1	b0	R

Заполнив табличку, отметим что в последней клетке нижней строки стоит – значение полинома в точке . В клетках нижней строки, кроме первой и последней, стоят коэффициенты частного от деления исходного полинома на двучлен .

Для полинома и вычисляя значение полинома в точке получаем:

	2	3	-7	-5	4
-2	2	-1	-5	5	-6

Т. е. установлено что .

Задачи для решения :1*, 2*, …, 21*

Решить алгебраические уравнения:

1*. ; 2*. ;

3*. ; 4*. ;

5*. ;

6*. Найти сумму коэффициентов многочлена:

.

7*. Делится ли многочлен на 

8*. Найти остаток от деления на .

9*. Некоторый многочлен при делении на дает в остатке 5, а при делении на дает в остатке 3. Найти остаток от деления того же многочлена на .

10*. Остаток от деления на равен 35, а от деления на остаток равен 320. Найти а и с.

С помощью схемы Горнера решить следующие уравнения:

11*. ,

12*. ,

13*. ,

14*. .

Решить возвратные уравнения:

15*. ,

16*. ,

17*. ,

18*. .

19*. Решить следующие уравнения разложив левую часть в произведение двух квадратных трехчленов:

а) , б) .

20*. Найти а при которых уравнение имеет два совпадающих корня.

21*. Число является корнем уравнения

.

Найти остальные корни, зная что а и b рациональные числа.

5.