Модуль непрерывности.
Def.
Модулем непрерывности
на множестве Х называется
Т.
Функция
равномерно непрерывна на множестве Х
тогда и только тогда, когда её модуль
непрерывности имеет предел равный нулю
при
.
§. Функциональные уравнения
1.
Задача: найти все непрерывные функции
,
удовлетворяющие функциональному
уравнению:
.
а)
б)
в)
……………………………….
г)
Тогда
.
Т.е.
.
д)
Пусть
иррационально.
Построим последовательность
.
Для
нее, из непрерывности функции, получим
.
С
другой стороны, из свойства г) следует,
что
.
Из
последних, двух равенств следует, что
.
е)
В последнем равенстве положим
.
ж)
Обозначая
,
получаем искомое
.
Итак
Единственной
функцией определенной и непрерывной
для
и удовлетворяющей функциональному
уравнению
является линейная однородная функция
.
Без вывода приведем еще ряд очень важных функциональных уравнений
2.
3.
4.
5.
.
Эти функциональные уравнения впервые в непрерывных функциях были решены Коши.
Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
Пусть
внутренняя точка области определения.
Def
. Функция
называется
дифференцируемой в точке x
если:
и А не зависит
от
.
Если
функция дифференцируема, то ее приращение
имеет главную часть
.
F.
Если функция дифференцируема , то
она непрерывна т.к. при
.
(но ….. не наоборот).
Def . Функцию назовем дифференцируемой справа (слева) если
.
Здесь
(
).
Пусть
дифференцируема
.
F.
Если
дифференцируема
в точке то она дифференцируема справа
и слева в этой точке и
(и наоборот).
Пример:
Функция
в нуле не дифференцируема.
Если
дифференцируема в точке, то в окрестности
этой точки ее приращение может быть
представлено в виде суммы линейной
функции от
плюс бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
§. Производная
Def
.
.
Односторонние
производные:
.
Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда она имеет равные между собой правую и левую производные.
F.
Если
дифференцируема то она имеет производную
и наоборот.
∆ Пусть
дифференцируема:
.
Разделим
обе части равенства на
:
.
Теперь
устремим
к
нулю:
,
И
тогда:
.
▲
Примеры:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
производной в нуле функция не имеет.
§. Дифференциал
Def
. Дифференциалом функции
в точке
называется главная линейная по приращению
аргумента часть приращения функции:
.
Записанная формула называется формулой инфинитезимальных (бесконечно малых) приращений.
§. Геометрическая и физическая интерпретация производной и дифференциала
Геометрический
смысл производной: Производная функции
в точке
численно равна тангенсу угла наклона
касательной к графику функции
,
проведенной через точку графика с
абсциссой
.
.
Физический
смысл производной: Производная функции
в точке
численно равна мгновенной скорости
изменения функции при значении аргумента
равном
.
Геометрический
смысл дифференциала: Дифференциал
функции в точке
численно равен линейному приращению
функции в точке
.
§. Производная суммы, произведения и частного дифференцируемых функций
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
.
Все эти формулы могут, без большего труда, доказаны.
§. Дифференцирование сложной функции
Пусть
заданы функции
и
.
Суперпозицией этих двух функций
называется функция
.
Для дифференцирования суперпозиции двух функций запишем
.
Переходя
к пределу при
,
получаем:
.
Другие формы записи той же формулы:
.
Формула эта называется цепным правилом дифференцирования сложной функции.
§. Дифференцирование обратной функции
Т.
Если функция
непрерывна и строго монотонна в некоторой
окрестности точки
и существует производная этой функции
в т.
не равная нулю, то в некоторой окрестности
точки
определена обратная функция
непрерывная, строго
монотонная и имеющая производную в
точке
,
причем:
∆
▲ .
§. Таблица производных
Таблицу производных надо знать !
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
Таблицу производных надо знать !
§. Доказательство формул дифференцирования
1.
2.
.
3.
.
4.
;
;
.
5.
;
.
6.
;
.
7.
;
.
8.
;
.
9.
;
.
10.
;
.
11.
;
.
12.
;
.
13.
Пусть
и
пусть
.
Производная нечетной функции есть
функция четная, а производная четной
функции – функция нечетная.
14.
.
Производная
периодической функции есть функция
периодическая.
Производная
непериодической функции – может быть
функцией периодической:
.