Произведение вещественных чисел

Product of Real Numbers

Добуток дійсних чисел.

Потребуем, чтобы умножение было дистрибутивно по отношению к сложению:

=

Отсюда вследствие единственности нуля, доказываемой алгебраически, имеем для любых фиксированных 

  

Произведение любого вещественного числа на 0 равно нулю.

0 = =-

вследствие единственности противоположного, доказываемой алгебраически.

Произведение числа на противоположное другому числу есть противоположное произведению этих чисел. Отсюда правило знаков: плюс (умноженный) на плюс и минус на минус дают плюс, а плюс на минус и минус на плюс дают минус:

 -+

( - т.к. противоположное число единственно.

Таким образом, в предположении дистрибутивности достаточно определить произведение положительных чисел, для остальных произведение определится правилом знаков и свойством 0 обращать в нуль произведение.

Для положительных вещественных чисел  т.е. для ^ и ^ таких, что ^^Q₊, назовем произведением  вещественное число C|C^ внутренность, верхнего класса которого равна произведению внутренностей верхних классов сомножителей ^=^{ } для 

^^{ }

а положительная часть внутренности нижнего класса равна произведению положительных частей внутренностей нижних классов сомножителей для 

__

Другими словами произведение положительных вещественных чисел, это вещественное число, которое заключено между всевозможными произведениями рациональных чисел из положительных частей внутренностей нижних классов сомножителей и всевозможными произведениями чисел из внутренностей верхних классов сомножителей.

_ b_ а^^, b^^ аb<а^b^

Проверка корректности определения ^ вместе с любым числом а^b^ а^^ b^^ содержит все большие: 0^b ^r

<1  а^( так что левая часть ^ Поэтому

r=[a^(^  ^ можно рассматривать как внутренность верхнего класса некоторого сечения.

вместе с любым числом аb, где асодержит и всякое меньшее положительное число: 0r b  а(а, так как левая часть .

Поэтому r=[a(  можно рассматривать как внутренность положительной части нижнего класса некоторого сечения.

B ^ нет наименьшего числа в - наибольшего. Так как таковых нет в ^ и ^, то для любых а^, b^ есть a^, b есть и , что после перемножения дает . Для рассуждения аналогично.

Любое число из и ^ меньше любого числа из0<aa b<b^  ab<a^b^.

В₊ и ^ можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного числа  Можно ограничиться рассмотрением а^а, b^b, где а, b произвольные наперед заданные числа. Если а^ и b^b то

a^b-ab=a^ b^a^b+a^bb a^b ^b)+(a ^b<a^b)<a ^b^{ }+b₁^)

Если взять , то получим требуемое. Здесь скажем a^<a без ограничения общности, так как во внутренностях верхних классов нет наименьших. Поэтому от а^ удовлетворяющего неравенству а^-а можно перейти к меньшему если это необходимо, удовлетворяющего кроме этого неравенства также и условию а^a^₁.

Данное определение произведения вещественных чисел сохраняет произведения рациональных чисел неизменными. Точное произведение ab сечений a и b производимых рациональными числами а₀ и b₀ есть сечение (а₀b₀)^ производимое их произведением

аb=(a_b₀)^

aa₀a^  b<b₀<b^  ab<a_b₀<a^b^ Поэтому a_b₀ удовлетворяет условиям налагаемым на произведение и так как последнее определено однозначно, то оно совпадает с сечением (_b₀)^*

Коммутативность: ^^ так как произведение рациональных чисел коммутативно.

Ассоциативность:  ^(^)^^ так как произведение рациональных чисел ассоциативно.

Существование единицы ^=^ если ^bQ|b>1}-внутренность верхнего класса сечения 1^* которое производится рациональным числом 1.

Так как в ^ входят числа , то ^^. Взяв  и b^= получим ^=() ^т.е. ^^.

Существование обратного: ^ где ^^^ причем для  для  по правилу знаков, 0 не имеет обратного.^^и ^-1.

Действительно ^ заключено между всевозможными произведениями вида аb и а^b ^, в частности между всевозможными числами вида и соответствующих выбору b=^ и b^^.

Разность таких чисел можно сделать сколь угодно малой, а так как между ними содержится 1 :, то это и есть что и требовалось доказать.

,

где 0<а₁<a так как в нет наибольшего, то а можно без ограничения общности брать >a_ увеличение а только уменьшает разность a^a

Неравенства между вещественными числами сохраняется при умножении обеих его частей на одно и то же положительное число

    