§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
А. Универсальная тригонометрическая подстановка:
=…
;
,
;
;
=
;
.
… =
.
Б. Универсальная гиперболическая подстановка:
=…
;
;
;
;
…=
;
В.
Еще несколько рекомендаций для
интегрирования
.
1.
Если
,
то замена: cosx = t.
2
. Если
,
то замена: sinx = t.
3.
Если
,
то замена: tgx = t.
Эти замены рационализуют интегралы от функций, рациональным образом выражающихся через тригонометрические функции.
Аналогичные замены справедливы и для интегралов от функций, рациональным образом выражающихся через гиперболические функции.
Примеры.
1.
.
2.
=
.
3.
= … .
4.
= …
.
Замена
;
.
…=
– (интеграл от дифференциального
бинома).
В. Очень полезными являются две следующие формулы:
1.
и, следовательно, интегрируя получаем:
.
Пример.
= … .
2.
+
и интегрируя, получаем:
=
;
при
взятии последнего интеграла полезно
знать, что:
=
.
§ Эллиптические интегралы. Введение.
Рассматриваются интегралы вида:
и
,
(*)
где
и
– многочлены 3й и 4й
степени соответственно, с
вещественными коэффициентами и не
имеющие кратных корней. В случае кратных
корней радикалы упрощаются и сводятся
к ранее рассмотренным иррациональностям.
Эти интегралы, как правило, не интегрируются в элементарных функциях и называются эллиптическими.
Однако:
1.
=
=
=
.
2.
Легко видеть , что :
.
Два рассмотренных интеграла , хотя и являются интегралами вида (*) выражаются через элементарные функции. Такие интегралы называются псевдоэллиптическими.
А.
Для
:
Сделаем замену :
следовательно :
Б.
Для интегрирования
запишем
.
В получившихся квадратных трехчленах избавимся от членов содержащих первые степени переменной х.
а)
При
сделаем замену
.
б)
При
сделаем замену
.
Тогда
,
.
Неизвестные
параметры
и
найдем из условия равенства нулю
коэффициентов при первых степенях
переменной
:
и
.
Из
системы уравнений:
находим
и
.
Тогда:
и
.
Теперь
представим :
в виде
=
=
=
.
Интеграл от первого слагаемого легко берется
В.
Рассмотрим интеграл:
.
(**)
Функцию
запишем в виде
.
Запишем
Функция
четная и, следовательно
,
а
функция
нечетная и поэтому
.
Тогда интеграл (**) разбивается в сумму двух интегралов :
I.
.
Замена
сводит этот интеграл, к ранее рассмотренным
интегралам от квадратичных
иррациональностей.