§ Формулы Эйлера.
Определим:
;
;
.
Такое
определение гарантирует что при
вещественных значениях аргумента
получатся хорошо знакомые функции
т.е. определения задают расширения
указанных функций на комплексную
плоскость.
Отметим что:
.
Следовательно:
,
;
;
.
Эти три формулы называются формулами Эйлера и задают связь между экспонентой и синусом и косинусом в комплексной плоскости.
В
частности для
,
;
.
Последняя
формула дает способ нахождения экспоненты
комплексного аргумента и, следовательно,
с учетом формул Эйлера и вычисления
и
.
Далее
определим:
; 
;
; 
;
; 
.
При этом, ясно что:
;
;
;
.
И
;
;
; 
.
Не трудно убедиться, что:
; 
;
;
;
и т.д.
§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
Воспользовавшись
тем, что
,
запишем комплексное число z
.
После первого знака равенства стоит алгебраическая, после второго знака равенства – тригонометрическая, а после третьего знака равенства – показательная форма записи комплексного числа. При этом в показательной форме записи вновь явным образом указаны модуль и аргумент комплексного числа.
Теперь
рассмотрим уравнение:
и
решим его относительно w:
.
Здесь
,
,
,
.
Тогда:
,
.
Значит:
,
.
Получена формула для вычисления логарифма комплексного числа. Отметим что, любое комплексное число (кроме нуля) имеет логарифм, причем этих значений бесконечно много.
Примеры:
1.
;
2.
.
И,
наконец, можно ввести операцию возведения
комплексного числа (не равного нулю) в
произвольную комплексную степень:
.
Примеры:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
*.
Во всех решениях:
.
Сделаем несколько замечаний, касающихся приведенных выше решений.
*.
В задаче 1 получено пять различных
решений расположенных на окружности
радиуса
в вершинах правильного пятиугольника.
*.
В задаче 2 бесконечно много решений.
Все они расположены на луче
и по модулю образуют бесконечную в обе
стороны геометрическую последовательность
со знаменателем
.
*.
В задаче 3 все решения расположены на
окружности радиуса
и покрывают ее всюду плотным образом.
*. В задаче 4 решения расположены на спирали и всюду плотным образом заполняют направления в которых они находятся.
*. Задача 5. Удивительный факт: чисто мнимое число в чисто мнимой степени есть бесконечное множество вещественных положительных чисел.
*. Задача 6. И все таки дважды два равно четыре.
§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
1.
,
.
Вещественно значная функция
вещественного аргумента.
2.
,
. Вещественно значная функция комплексного
аргумента.
3.
,
:
,
,
.
Комплексно значная функция вещественного
аргумента.
4.
,
.
Комплексно значная функция комплексного
аргумента.
5.
Комплексно значная функция
натурального аргумента называется
комплексно значной последовательностью
.
§ Предел. Дифференцируемость. Непрерывность. Интегрируемость.
Комплексно значная функция комплексно значного аргумента – векторно значная функция векторного аргумента.
Def.
Точка
называется точкой сгущения множества
М (предельной точкой), если
существует, по крайней мере одна, (а
значит бесконечно много) отличная от
точка из множества M.
Def.
.
(a,
b, z
C).
*.
Если комплексно значная функция имеет
предел, то её модуль также имеет предел
и при этом:
.
Δ
Факт этот следует из неравенства:
.
▲.
Если
,
при
,
то
*)
;
*)
,
*)
.
Непрерывность в терминах пределов и неравенств формулируется так же, как и для вещественно значных функций.
Производная и дифференциал функции определяется в полной аналогии с определениями для функций вещественного аргумента. И результаты зачастую очень похожи. Однако …
Для комплексно-значных функций требования дифференцируемости накладывает существенные ограничения.
.
Переходя в полученном выражении к пределу, получаем:
1)
,
,
;
2)
,
,
.
Из
двух различных записей для
делаем вывод: функция комплексного
аргумента
дифференцируема тогда и только тогда,
когда выполняются условия:
;
.
Эти условия называются условиями Коши
– Римана.
При этом из условий Коши – Римана для дифференцируемой функции следует:
;
Кроме того непосредственными вычислениями удается установить, что:
;
;
;
……