Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Конспект Беляева.doc
Скачиваний:
112
Добавлен:
24.11.2018
Размер:
9.69 Mб
Скачать

II. Правила построения формул ив.

Формулы ИВ определяются индуктивно, т.е. указываются неделимые атомные формулы, правила, по которым из заданных формул составляются новые, и постулируется, что никаких формул, кроме тех, которые являются таковыми согласно указанным правилам, нет.

Условимся обозначить в метаязыке произвольные формулы ИВ рукописными заглавными буквами из начала латинского алфавита: А,В,С,D ,…

1.Каждая отдельно взятая пропозициональная буква является формулой ИВ.

2.а) Если слово А является формулой ИВ, то слово А – тоже формула ИВ.

б Если слова А и В являются формулами ИВ, то слово (АВ), где знак  обозначает в метаязыке произвольную двухместную связку из принятого списка основных связок ИВ, - тоже формула ИВ.

3. Слово из символов ИВ является формулой ИВ тогда, и только тогда, когда оно является таковой согласно ранее сформулированным правилам. При введении новых двухместных связок в сокращениях в метаязыке для соответствующих формул языка-объекта, сокращения записывают в виде, согласующемся с указанными правилами построения формул.

В метаязыке допускают сокращение числа скобок, используемых при записи формул; так, обычно опускают внешние скобки и некоторые другие, на основании соглашения о приоритете логических связок, определяя его местом связок в последовательности

,

из двух данных связок в записи с сокращенным числом скобок первой действует связка расположенная ближе к началу списка. При восстановлении скобок, для данного знака ищутся ближайшие подслова являющиеся формулами и образующие вместе со знаком подслово, являющееся формулой с опущенными внешними скобками.

Правила построения формул ИВ сформулированы так, что можно указать алгоритм, позволяющий по каждому знакосочетанию из символов ИВ выяснить, является оно формулой ИВ или нет.

III. Правила вывода ив

Содержательно правило вывода – это алгоритм переработки заданных истин в другие. В метаязыке обозначают дробью вида.

где “числитель” Г - список известных истин – формул ИВ, определенной правилом вывода структуры. Формулы из списка Г называется посылками этого правила, а ”знаменатель”-формула А - их непосредственным следствием по рассматриваемому правилу.

Содержательно истины ИВ - это тавтологии. Поэтому правила вывода ИВ должны преобразовывать тавтологии в тавтологии. Можно указать много таких рецептов. Не все они независимы. Есть основные и производные или допустимые. Из бесчисленного множества возможных правил вывода в ИВ можно ограничиться двумя основными МР и S, или даже одним - МР.

1.Modus ponens (лат.-способ вычеркивания или вычерчивания; название связано с проведением рассуждений с помощью знаков, вычерчиваемых прутиком на влажном песке пляжа). Коротко МР.

.

Если импликация и ее посылка истины, то истинно и заключение импликации. Содержательно это можно обосновать рассматривая таблицу истинности для импликации.

2. Подстановка. Коротко S (substitution)

Подстановка вместо всех вхождений пропозициональной переменной А в истинную формулу А(A) произвольной формулы В даст истинную формулу А(A/B).Содержательно это оправдано тем, что постоянная функция (тавтология) при cуперпонировании с любыми функциями остается постоянной (тавтологией).

Как правило, правилом подстановки избегают пользоваться явно, поскольку в выводе из гипотез его нельзя применять к гипотезам, в которых могут фигурировать фиксированные высказывания. Отказ от явного использования правила подстановки позволяет не различать вывод из гипотез и вывод.

Подстановка фактически означает, что пропозициональные переменные могут принимать в качестве значений формулы ИВ. Чтобы разделить объекты и средства исследования вводят метаязыковые переменные А, В, С отличные от пропозициональных и принимающие в качестве значений формулы ИВ. Возникает исчисление идентичное ИВ, но отличающееся интерпретацией: это ИВ применяемое к ИВ; формального различия нет. Однако, содержательно в метаязыковом ИВ каждая формула соответствует бесконечному числу формул ИВ-объекта, т.к. в них буквы А, В, С,…обозначают произвольные формулы ИВ-объекта (или, что то же самое, переменные А, В, С,…пробегают множество формул ИВ-объекта, или, что то же самое, принимают значения из указанного множества). Соответственно аксиомы в метаязыковом ИВ называют схемами аксиом ИВ-объекта т.к. при подстановке в каждую из них вместо метаязыковых пропозициональных букв произвольных формул ИВ–объекта т.к. при подстановке в каждую из них вместо метаязыковых пропозициональных букв произвольных формул ИВ-объекта (придания переменным А, В, С, конкретных значений) получаем бесконечно много формул–аксиом ИВ–объекта. Можно было бы говорить и о схемах теорем языка-объекта, чего не принято делать.

3. Правило вывода в формулировке ИВ с единственной связкой – антиконъюнкцией  и единственной схемой аксиом (см.ниже).

Легко проверить, воспользовавшись арифметическими выражениями для представляющих функций, что это действительно так: А(ВC) = 1-А+АВС. Конечно в качестве заключения можно было бы написать и В. При С=В это правило есть МР, записанный через антиконъюнкцию.

Обычно постулируют несколько, не меньше одного, правил вывода, а многие другие используемые правила вывода получают с помощью постулированных основных как следствия развития теорем – их называют производными или допустимыми правилами.