- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
II. Правила построения формул ив.
Формулы ИВ определяются индуктивно, т.е. указываются неделимые атомные формулы, правила, по которым из заданных формул составляются новые, и постулируется, что никаких формул, кроме тех, которые являются таковыми согласно указанным правилам, нет.
Условимся обозначить в метаязыке произвольные формулы ИВ рукописными заглавными буквами из начала латинского алфавита: А,В,С,D ,…
1.Каждая отдельно взятая пропозициональная буква является формулой ИВ.
2.а) Если слово А является формулой ИВ, то слово А – тоже формула ИВ.
б Если слова А и В являются формулами ИВ, то слово (АВ), где знак обозначает в метаязыке произвольную двухместную связку из принятого списка основных связок ИВ, - тоже формула ИВ.
3. Слово из символов ИВ является формулой ИВ тогда, и только тогда, когда оно является таковой согласно ранее сформулированным правилам. При введении новых двухместных связок в сокращениях в метаязыке для соответствующих формул языка-объекта, сокращения записывают в виде, согласующемся с указанными правилами построения формул.
В метаязыке допускают сокращение числа скобок, используемых при записи формул; так, обычно опускают внешние скобки и некоторые другие, на основании соглашения о приоритете логических связок, определяя его местом связок в последовательности
,
из двух данных связок в записи с сокращенным числом скобок первой действует связка расположенная ближе к началу списка. При восстановлении скобок, для данного знака ищутся ближайшие подслова являющиеся формулами и образующие вместе со знаком подслово, являющееся формулой с опущенными внешними скобками.
Правила построения формул ИВ сформулированы так, что можно указать алгоритм, позволяющий по каждому знакосочетанию из символов ИВ выяснить, является оно формулой ИВ или нет.
III. Правила вывода ив
Содержательно правило вывода – это алгоритм переработки заданных истин в другие. В метаязыке обозначают дробью вида.
где “числитель” Г - список известных истин – формул ИВ, определенной правилом вывода структуры. Формулы из списка Г называется посылками этого правила, а ”знаменатель”-формула А - их непосредственным следствием по рассматриваемому правилу.
Содержательно истины ИВ - это тавтологии. Поэтому правила вывода ИВ должны преобразовывать тавтологии в тавтологии. Можно указать много таких рецептов. Не все они независимы. Есть основные и производные или допустимые. Из бесчисленного множества возможных правил вывода в ИВ можно ограничиться двумя основными МР и S, или даже одним - МР.
1.Modus ponens (лат.-способ вычеркивания или вычерчивания; название связано с проведением рассуждений с помощью знаков, вычерчиваемых прутиком на влажном песке пляжа). Коротко МР.
.
Если импликация и ее посылка истины, то истинно и заключение импликации. Содержательно это можно обосновать рассматривая таблицу истинности для импликации.
2. Подстановка. Коротко S (substitution)
Подстановка вместо всех вхождений пропозициональной переменной А в истинную формулу А(A) произвольной формулы В даст истинную формулу А(A/B).Содержательно это оправдано тем, что постоянная функция (тавтология) при cуперпонировании с любыми функциями остается постоянной (тавтологией).
Как правило, правилом подстановки избегают пользоваться явно, поскольку в выводе из гипотез его нельзя применять к гипотезам, в которых могут фигурировать фиксированные высказывания. Отказ от явного использования правила подстановки позволяет не различать вывод из гипотез и вывод.
Подстановка фактически означает, что пропозициональные переменные могут принимать в качестве значений формулы ИВ. Чтобы разделить объекты и средства исследования вводят метаязыковые переменные А, В, С отличные от пропозициональных и принимающие в качестве значений формулы ИВ. Возникает исчисление идентичное ИВ, но отличающееся интерпретацией: это ИВ применяемое к ИВ; формального различия нет. Однако, содержательно в метаязыковом ИВ каждая формула соответствует бесконечному числу формул ИВ-объекта, т.к. в них буквы А, В, С,…обозначают произвольные формулы ИВ-объекта (или, что то же самое, переменные А, В, С,…пробегают множество формул ИВ-объекта, или, что то же самое, принимают значения из указанного множества). Соответственно аксиомы в метаязыковом ИВ называют схемами аксиом ИВ-объекта т.к. при подстановке в каждую из них вместо метаязыковых пропозициональных букв произвольных формул ИВ–объекта т.к. при подстановке в каждую из них вместо метаязыковых пропозициональных букв произвольных формул ИВ-объекта (придания переменным А, В, С, конкретных значений) получаем бесконечно много формул–аксиом ИВ–объекта. Можно было бы говорить и о схемах теорем языка-объекта, чего не принято делать.
3. Правило вывода в формулировке ИВ с единственной связкой – антиконъюнкцией и единственной схемой аксиом (см.ниже).
Легко проверить, воспользовавшись арифметическими выражениями для представляющих функций, что это действительно так: А(ВC) = 1-А+АВС. Конечно в качестве заключения можно было бы написать и В. При С=В это правило есть МР, записанный через антиконъюнкцию.
Обычно постулируют несколько, не меньше одного, правил вывода, а многие другие используемые правила вывода получают с помощью постулированных основных как следствия развития теорем – их называют производными или допустимыми правилами.