- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
Теория
Задачи для решения :1*, 2*, …, 18*
Доказать тождества:
1*. ; 2*. ;
3*. ;
4*. .
Вычислить без помощи таблиц:
5*. ; 6*. sin270 sin250sin210;
7*. sin15; 8*. sin18; 9*. .
Вычислить: 10*. sin(2arccos); 11*. cos[arcsin(–)];
12*. sin(arcsin + arcsin ]. 13*. tg(2arcsin );
14*. arcsin(sin2); 15*. sin(arctg2 + arctg3);
16*. sin(2arctg) + cos(arctg).
Проверить равенства:
17*. ; 18*. .
6.
Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
Теория
Задачи для решения :1*, 2*, …, 20*
Решить следующие тригонометрические уравнения:
1*. 2sin2x + sinx – 1 = 0; 2*. 4sin4x + cos4x = 1+12cos4x;
3*. tg3x + 2tg2x 3tgx = 0.
Следующие уравнения свести к однородным и решить:
4*. 2sinxcosx + 5cos2x = 4; 5*. 8sin2x – 3cos2x = 4;
6*. sin4x – cos4x = ; 7*. cos6x + sin6x – cos22x = .
Вводя дополнительный аргумент решить уравнения:
8*. sin8x – cos6x = (sin6x + cos8x);
9*. sin11x + sin7x + cos7x = 0;
10*. sin10x + cos10x = sin15x; 11*. 4sin3x + 3cos3x = 5,2.
Применяя универсальную тригонометрическую подстановку:
; ; ; , решить:
12*. sinx + ctg = 2; 13*. ctg( – x) = 5tg2x + 7;
14*. 3sin4x = (cos2x – 1)tgx;
Применяя подстановку t = cosx + sinx, решить:
15*. 5(sinx + cosx) + sin3x – cos3x = 2(2 + sin2x);
16*. sinx + cosx + sinxcosx = 1; 17*. sinx + cosx – 2sinxcosx = 1.
Решить: 18*. sin26x + 8sin23x = 0;
19*. sin8x + cos8x = ; 20*. cos2x + 4sin4x = 8cos6x.
7.
Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
Теория
Задачи для решения :1*, 2*, …, 31*
Построить графики функций:
1*. y = | x – 2 |(x + 2); 2*. ; 3*. ;
4*. ; 5*. ;
6*. ; 7*. ;
8*. ; 9*. ;
10*. ; 11*. ; 12*. y = | 4x2 – 1| – 3x;
13*. ; 14*. .
Применяя общую теорию, исследовать функции и построить графики:
15*. ; 16*. ; 17*. y = x2e–x;
18*. ; 19*. y = x + sinx; 20*. ;
21*. ; 22*. y = xsinx; 23*. ;
24*. ; 25*. ;
26*. ; 27*. ; 28*. ;
29*. ; 30*. .
31*. Построить графики функций:
а) ; б) ;
в) ; г) y = ln| x2 – x – 6 |;
д) y = cos(3arcsinx); е) y = sin(3arccosx);
ж) y = sin(3arcsinx); з) y = tg(3arctgx).
8.
Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
Теория
Задачи для решения :1*, 2*, …, 14*
Применяя метод сечений решить уравнения и неравенства:
1*. (x + 1)| x – 1 | – a = 0; 2*. | 1 – | x | | < a – x;
3*. ;
4*. ; 5*. | x + a | – | 2x – a +2 | = a.
6*. Найти а, при которых минимум функции
f(x) = 2| x – 1| + | x + 3| – 2|x – a2 – a| будет больше 1.
7*. Найти значения а, при которых минимум функции меньше 2
f(x) = 3| x – a | + | х2 + x – 2|.
8*. Найти а, при которых существует хотя бы одно решение системы:
а) ;
б) ;
в) .
9*. При каких а следующие системы имеют ровно 2 решения:
а) ; б) ; в) .
10*. Найти количество корней уравнения в зависимости от параметра а:
а) ; б) .
11*. Задана парабола и прямая. При каком значении а, наименьшее из расстояний между точками параболы и прямой равно ?
а) y = x2 – 2ax + a2 – a + 1, y = –2x, ;
б) y = x2 – 2ax + a2 + a – 2, y = –4x, .
12*. Доказать, что на множестве x(0, 4] выполнено неравенство:
а) 6x – 4lnx x2; б) 8x – 6lnx x2.
13*. Определить количество корней уравнения, в зависимости от параметра а:
а) xln10x = a; б) xlnx = a; в) lnx = ax.
14*. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) для x[–2, 1]:
а) f(x) = (2ax2 – x4 – 3a2)–1; б) f(x) = (x4 – 6ax2 + a2)–1.
9. Длина окружности. Площади: треугольников, прямоугольников, трапеций,
параллелограммов, сектора, сегмента.
Объемы: шара, пирамиды, цилиндра, конуса. Телесный угол.
Теория
Задачи для решения