Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Конспект Беляева.doc
Скачиваний:
112
Добавлен:
24.11.2018
Размер:
9.69 Mб
Скачать

§ Теорема о предельной точке

Т˚. (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная бесконечная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

На расширенной вещественной прямой:

Всякая бесконечная последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел, возможно несобственный. Δ▲.

Следствие˚. Всякое ограниченное бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку. На расширенной числовой прямой всякое бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку, возможно несобственную.

§ Верхние и нижние пределы последовательностей и функций

Def. Нижним пределом последовательности () называется наименьший из частичных пределов этой последовательности. Верхним пределом последовательности () называется наибольший из частичных пределов последовательности.

При этом: .

Всякий частичный предел последовательности лежит между ее нижним и верхним пределами.

Т˚. Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают.

Δ 1) Пусть и = и b>a.

——(—|—)———(—|—)——

a b

N начиная с которого все элементы и попали соответственно в окрестности и . Тогда смешав элементы этих двух последовательностей получим последовательность, не имеющую предела. Следовательно, если верхний и нижний пределы последовательности не равны между собой, то существует подпоследовательность, не имеющая предела и, значит, предел последовательности не существует.

2)

У всякой функции, для которой aD ( f ), существуют наибольший и наименьший частичные пределы. Они называются верхним и нижним пределами функции при : и .

Т˚. Предел функции при существует тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают. Δ ▲.

§ Критерий Коши

Def. Последовательность называется фундаментальной, если

.

Т˚. Всякая сходящаяся последовательность – фундаментальна

Δ

А. Критерий Коши для последовательности.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Δ Первая часть критерия доказана выше.

2) Пусть - фундаментальна. Тогда .

Начиная с N последовательность - ограничена т.к. n .

Из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. ,

; ▲.

В. Критерий Коши для функции.

Функция при , aD ( f ) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда:

в которой .

Δ Необходимость. Пусть . Значит, .

Рассмотрим:

т.е. необходимость доказана.

Достаточность. Пусть .

Построим последовательность , такую что и . Для этой последовательности, по условию теоремы можно написать:

.

Тогда, согласно критерию Коши для последовательности , последовательность сходится и, значит (по Гейне ) функция имеет предел при . ▲