IV. Аксиомы ив.

Содержательно аксиомы – это утверждения, рассматриваемые как истинные без доказательства. Выбор аксиом определяется компромиссом между желанием иметь поменьше постулируемых истин и удобством их использования. В отсутствие подстановки, как одного из основных правил вывода, речь должна идти о схемах аксиом, определяющих структуру формул, объявляемых аксиомами; число аксиом в этом случае бесконечно, но схем аксиом можно взять конечное число. Уменьшению числа аксиом или схем аксиом способствует их независимость, когда ни одна из схем аксиом не выводится из остальных.. Для ИВ вследствие полноты (выводимость всех истин–тавтологий) и существования разрешающей процедуры (т.е. алгоритма, позволяющего по любой формуле выяснить, является ли она истинной, тавтологией или теоремой, или нет) вопрос о числе и независимости аксиом скорее эстетический. В исследованиях (схем) аксиом на независимость находят применение многозначные логики. В приводимых ниже списках аксиом они подразумеваются (и так оно и есть) независимыми.

Если в качестве основных связок взять  то удобный в смысле легкости содержательной интерпретации и легкости преобразования в систему (схем) аксиом ИИВ, список схем аксиом ИВ, включает 10 формул–тавтологий: (Kleene S.C. Introduction to Metamathematics—Princeton, 1952)

1.А

2.ВС))С)); здесь можно поменять местами формулы В и С)) без негативных последствий,

3.(ААСАС)).

4.(АВССВ

5.АА

6.А

7.А

8.В

9.(А;

эту схему можно заменить в рамках ИВ на

9.(А

без нарушения свойства полноты,

10.АА.

Скажем, знак  вводится как сокращение (А:(А(ВА)

Если в качестве основных связок взять то список (схем) аксиом сокращается до трех: 1, 2 и

3.(А.

Более того, можно было бы обойтись единственной схемой аксиом

(Meredith L.A. J. Comput. Syst. 3 , 155-164, 1953)

((((АСD))С)DА.

Здесь связки   вводятся как сокращения ( в предыдущей формулировке это теоремы)

():(А

(А

Если в качестве основных связок взять  , то можно взять аксиомы

(Hilbert D., Ackermann W. Grundzuge der theoretischen Logik. - Berlin,1938)

1.АА,

2.А,

3.А,

4.(ВС)ААС)

(А)А

Для связок  схемы аксиом ИВ

(Rosser J.B. Logic for Mathematicians-New York, 1953)

1.А,

2.(А,

3.(А(С)С))

с сокращением (А)

Для единственной основной связки и единственного правила вывода

можно воспользоваться единственной схемой аксиом.

(Nicod J.C. Proc. Cambridge Phil. Soc, 19, 32-41, 1917)

(А С))  DD D) EE)E))

с сокращениями

,

(АА,

(А,

(АА.

Это теоремы в основной формулировке для сокращения (А

V.Вывод

Вывод из, возможно пустого, списка гипотез (формул) Г (для) формулы А – это последовательность формул заканчивающаяся формулой А и такая, что каждая из них есть либо аксиома, либо одна из гипотез, либо непосредственное следствие предыдущих формул по одному из правил вывода. Формулы из списка Г называются гипотезами или посылками вывода. О формуле А говорят, что она выводима (имеет вывод) из гипотез Г.

Вывод – это вывод из пустого списка гипотез.

Теорема – формула имеющая вывод.

Формула А зависима от списка формул Г, если есть вывод ее из Г не использующий аксиомы. Список формул независим (формулы списка независимы друг от друга), если ни одна из них не зависит от остальных.

Аксиома независима, если она не зависит от остальных аксиом.

В метаязыке утверждение о выводимости формулы А из списка гипотез Г называют секвенцией и записывают с помощью знака выводимости  в виде

Г  А

– “из списка гипотез Г выводится формула А” или “формула А следует из гипотез Г”.

В случае пустого списка гипотез Г= пишут секвенцию

→ А

– “формула А выводима (доказуема)”,”существует вывод формулы А”,”формула А есть теорема”.

Если для списка формул-гипотез Г существует формула А, которая выводима из этого списка как и ее отрицание А, т.е. если существует формула, для которой одновременно ГА и ГА, то список формул-гипотез называется противоречивым и пишут секвенцию.

Г

-“список гипотез Г противоречив”.

Cеквенцию

можно рассматривать как утверждение о противоречивости теории. Для ИВ это ложная секвенция (непротиворечивость ИВ).

При одновременном рассмотрении разных теорий и, соответственно, разных понятий выводимости, знак выводимости снабжают индексом, указывающим теорию, к которой он относится: так

_ив, _иис ,_ип,….

Запись вывода в метаязыке (протокол вывода) начинают знаком начала вывода (доказательства) ◄‚ после которого иногда указывают формальную систему, в которой проводится рассмотрение и/или основную идею вывода, а заканчивают вывод знаком конца вывода (доказательства) . Для удобства ссылок удобно нумеровать формулы последовательности–вывода, для чего перед формулой с отступом от нее пишется ее порядковый номер в рассматриваемом выводе – соответствующая цифра с точкой. Формулы в выводе удобно сопровождать комментарием, достаточным для того, чтобы без напряжения можно было понять, какой именно гипотезой или аксиомой и при каких именно формулах-составляющих она является, или следствием каких предыдущих формул и по какому именно правилу вывода она получена. Очевидно, для этого необходимо перенумеровать аксиомы, гипотезы и правила вывода, если их больше одного; часто вместо номера удобно пользоваться собственными именами некоторых из этих объектов. Комментарий с отступом пишут после строки в которой написана формула в квадратных скобках располагая его в укороченном абзаце, так что формулы выделяются в столбце текста с комментарием. Примеры расшифровки комментариев 

  гипотеза с номером 2

А с. А= В= С= - схема аксиом 5 со значениями формул –составляющих, вместо которых здесь написаны многоточия

R8 из 14 и 7]  формула получена по допустимому правилу вывода с номером 8 из формул 14 и 7 рассматриваемого вывода

[ из 3 к 17  формула получена по МР из формул 3 и 17 рассматриваемого вывода.

Пример вывода в ИВ

Докажем теорему ИВ

А

- принцип тождества. В записи через  и  это закон исключительного третьего A.

1.А(А

 с А+А, В=АA

2.(АА

((А

 с  ВА, С=А

3.

[МР из 1 и 2]

4.А

[А1 с В=А]

5.АА

[МР из 3 и 4]