§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.

Элементарными дробями будем называть дроби следующих четырех типов:

I. ; II. , ;

III. ; IV. , ;

Рассмотрим интегрирование указанных типов рациональных дробей.

Как видно интегралы первых двух типов это табличные интегралы.

I. ; II. .

Теперь займемся интегралами третьего и четвертого типов.

III, IV. = = =

.

Интегрирование первого интеграла не представляет трудностей.

а) ;

б) .

Интегрирование второго интеграла зависит от показателя степени в знаменателе.

в);

г) =

= .

Получено соотношение: , из которого

.

Полученная формула понижения позволяет выразить через и, в конце концов, через .

Интегрирование указанных четырех типов рациональных дробей показывает, что они могут быть проинтегрированы, и в результате получится сумма рациональных функций ), логарифмов , и арктангенсов. А в общем случае?

§. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Рассматривается задача интегрирования рациональной дроби: .

а) Если m>n: т.е. дробь под знаком интеграла неправильная. Производя деление, получим

 ,

причем:

*. Интеграл легко берется (интеграл от полинома);

*. Интеграл - является интегралом от правильной дроби.

б) Разложим многочлен на неприводимые множители, т.е. на линейные множители и квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами без вещественных корней. Это всегда можно сделать, если у исходного многочлена вещественные коэффициенты:

(*)

в) Метод разложения дроби на простейшие.

Теорема: Правильная дробь , у которой знаменатель представлен в виде (*) всегда может быть представлена в виде суммы элементарных дробей вида I, II, III, IV.

Т.е.

.

Учитывая, что в правой части стоят только дроби I, II, III и IV типов, а интегрировать эти дроби мы научились, то задача интегрирования рациональной дроби решена.

Неопределенный интеграл от рациональной функции существует на любом промежутке, где знаменатель интегрируемой дроби не обращается в ноль и выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы в конечном виде.

Примеры.

1˚. Вычислить интеграл .

Рациональная подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть.

Т.к. , то и, значит

= .

Чтобы взять оставшийся интеграл, разложим дробь в сумму простейших:

(A, B, M, N – неопределенные коэффициенты).

*. Две дроби с равными знаменателями равны тогда и только тогда, когда равны их числители.

= .

* Два многочлена равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают. Из этого критерия и последнего равенства получаем:

Получаем .

2˚. Вычислить интеграл .

Разложим подынтегральную дробь в сумму простейших дробей:

,

и можно найти A, B, C, D, E, F как в предыдущей задаче, но…

и, следовательно: .

Оставшийся интеграл это интеграл четвертого типа и для его взятия можно использовать полученную выше формулу понижения.

.

В данном случае интеграл четвертого типа оказался не очень сложным. В общем случае, именно интегралы четвертого типа вызывают самые большие, хотя и технические, трудности. Избежать этих трудностей позволяет исключительно остроумный метод Остроградского.