Дополнение 1 Вещественные числа

Real numbers

Дійсні числа

Необходимость расширения поля рациональных чисел

Necessity in Extension of Rational Number Field

Необхідність розширення поля раціональних чисел.

Уравнение х²=2 не разрешимо в рациональных числах, т.е. не существует рационального числа, удовлетворяющего этому уравнению; не может быть рациональным числом.

Можно было бы рассматривать более общее уравнение, скажем, вида х^m=n, где натуральное m 2, а n есть ненулевое целое число, которое не есть m-я степень какого-либо целого числа (nZ , n kZ n=k^m). В этом и каком-либо другом подобном обобщении рассматриваемого уравнения х²=2 здесь нет нужды, поскольку проводимое рассмотрение имеет иллюстрированный характер.

 От противного. Пусть решение х есть рациональное число m/n, где m Z , nN и дробь m/n несократима, т.е. m и n не имеют общих множителей. m0 т.к. 0 очевидно, не есть решение. Тогда

(m/n)²=2m²=2n²m=2pp^n²n²=2p²n=2q дробь m/n сократима – противоречие со сделанным предположением о рациональности х и не ограничивающем общность выбором представления этого рационального числа в виде несократимой дроби

С

1

1

уществуют несоизмеримые отрезки, т.е. отрезки, длина которых при фиксированной единице длины (масштабе) не выражается рациональным числом.

Например, это гипотенуза

равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным

к

c

атетом. По теореме Пифагора квадрат гипотезы

такого треугольника равен с²=1²+1²=2, а потому,

по доказанному выше, с не может быть рациональным числом

Заметим, что несоизмеримость любого данного отрезка зависит от выбора единицы длины: для одного выбора отрезок несоизмерим, а для другого может быть соизмеримым (иметь длину выражающуюся рациональным числом). Чтобы говорить о длине произвольных отрезков при любом выборе единицы длины необходим выход за рамки множества рациональных чисел.

Сечения множества рациональных чисел

Section of Rational number set

Перерізи множини раціональних чисел.

Изобразим рациональные числа точками на числовой прямой. Произвольно взятая (фиксированная, заданная) точка прямой, разбивая прямую на две полупрямые, разбивает множество точек с рациональными координатами (множество рациональных чисел Q) на два подмножества, которые будем называть классами.

Нижний класс А состоит из рациональных точек (чисел), лежащих слева от заданной точки; верхний класс А^ состоит из рациональных точек (чисел), лежащих слева от заданной точки; верхний класс А состоит из рациональных точек, лежащих справа от заданной точки.

Заданную точку, производящую сечение , если она рациональная будем относить либо к нижнему классу, тогда она будет там наибольшим числом, либо к верхнему классу, тогда она будет там, наименьшим числом. Такие сечения производимые рациональными числами будем отождествлять (считать равными). Это отношение эквивалентности в множестве всех сечений. Каждое рациональное число попадет в один и только один из классов, верхний или нижний, любое число из верхнего класса больше любого числа из нижнего класса и классы не пусты:

1) A, A ; 2) AU^= Q; 3) A^= 4)a А а^А^ аа^.

Сечением А множества Q рациональных чисел называется разбиение множества Q рациональных чисел на два не пустых непересекающихся подмножества, называемых классами (нижним А и верхним А), так что любой элемент из нижнего класса А меньше любого элемента из верхнего класса A. Эти условия, определяют сечения не аппелируя к наглядной геометрической картине в теоретико-множественных терминах. Как станет ясно из дальнейшего такое определение сечения равносильно геометрическому. Пока о равносильности трудно говорить, поскольку еще не определены вещественные (не рациональные) числа соответствующие произвольным точкам прямой. Будем обозначать сечения множества рациональных чисел символом А .

Если в нижнем классе сечения есть наибольшее число, то “перебросив” его в верхний класс, получим сечение в верхнем классе которого указанное число будет наименьшим: если А сечение и

а=max A, то А \аАа- тоже сечение и а=min (a

(а=min A (A{a }A\a ( а=max (Aa)

Такие сечения множества рациональных чисел, как оговорено выше, отождествляем (считаем равными) и о каждом из них говорим, что оно производится рациональным числом а. Коротко сечение производимое рациональным числом а будем обозначать а^; именно оно (любое из двух отождествленных или скорее соответствующий класс эквивалентности сечений) будет играть роль рационального числа, а в конструируемом множестве вещественных чисел, включающем реализацию множества рациональных чисел в терминах сечений как подмножество. Рациональные числа из нижнего класса можно рассматривать как всевозможные рациональные “приближенные” значения координаты точки производящей сечение (вещественного числа) по недостатку, а рациональные числа из верхнего класса – как всевозможные рациональные “приближенные” значения координаты точки производящей сечение по избытку. Когда сечение производится рациональным числом, есть и точное рациональное значение координаты, которое можно отнести в любой из классов (верхний или нижний).

Есть сечения в нижнем классе которых нет наибольшего числа, а в верхнем – наименьшего. Например, определим сечение отнеся к нижнему классу все неположительные рациональные числа и рациональные числа, квадрат которых меньше двух (равенство, как установлено, невозможно):

А=ааQ₊а аQ₊a²

Для всякого числа из нижнего класса рассматриваемого сечения найдется большее его число из этого же класса и для всякого числа из верхнего класса найдется меньшее его число из этого же класса. Всякое число из нижнего класса этого сечения можно увеличить оставаясь в нижнем классе, а всякое число из верхнего класса – уменьшить оставаясь в верхнем классе.

Действительно рассмотрим положительное число из нижнего класса (для отрицательных чисел утверждение тривиально)

a>0  а²<0

Определим натуральное n, nN, из условия, чтобы рациональное число а  лежало в нижнем классе сечения, т.е. чтобы

Последнее неравенство выполняется и подавно, если n подчинить более простому для разрешения условно

поскольку , если n>1.

Из упрощенного условия имеем (по принципу Архимеда для любого рационального числа найдется большее его натуральное). Таким образом, в нижнем классе рассматриваемого сечения не может быть наибольшего числа, поскольку для всякого числа из нижнего класса найдется большее его число из этого же класса.

Для числа а из верхнего класса, а>0  a²>2 потребуем, чтобы

.

Последнее неравенство выполняется и подавно, если n подчинить более простому для разрешения условию

поскольку

Из упрощенного условия имеем Существование решений означает, что в верхнем классе рассматриваемого сечения не может быть наименьшего числа.

Не существует сечений, у которых одновременно в нижнем классе имелось бы наибольшее число а₀, а в верхнем классе – наименьшее а^₀.

От противного (by contradiction). Пусть такое сечение есть. Так как должно быть а₀<a, то вставляя между ними рациональное число с, скажем а₀<c<а придем к противоречию: с не может лежать в классе А, т.к. с>а₀=max A и с не может содержаться в А т.к. с<а=min A

Итак, существует два вида сечений множества рациональных чисел:

а) сечения, которые производятся рациональным числом, которое есть либо наибольшим элементом в нижнем классе, либо – наименьшим элементом в верхнем классе, причем другой класс сечения не имеет экстремального элемента. Такие сечения группируются в пары из сечений, отличающихся отнесением числа производящего сечение к верхнему или к нижнему классу. Сечения пары отождествляются (считаются эквивалентными) и сопоставляются производящим их рациональным числам в множестве всех сечений отождествляемом с множеством вещественных чисел.

б) сечения, нижний и верхний классы которых, оба не имеют экстремальных элементов. Такие сечения интерпретируются как иррациональные числа. Здесь “иррациональный” значит “не рациональный” irrationalis - лат. неразумный в противоположность rationalis-разумный, действительный.