§ Теорема штольца
Т.
Если для двух последовательностей, из
которых вторая строго монотонна и
неограничена существует предел отношения
приращений общих членов (конечный или
равный +∞, -∞), то существует и равен
этому пределу предел отношения общих
членов последовательностей.
∆ ▲.
Примеры:
1.
;
;
2.
(a > 1);
lim
;
3.
;
4. Для положительной последовательности, если существует предел отношения ее общего члена к предыдущему (конечный, равный +0, или равный +∞), то существует имеющий то же значение предел корня n-й степени из хn.
.
5.
.
6.
.
§ Односторонняя непрерывность
Def1.
Функция f (x)
называется непрерывной в точке
если
.
Def2.
. Функция f (x)
называется непрерывной справа (слева)
в точке
её области определения, если
и
;
(
и
).
К
Def2.
Функция f (x)
непрерывна справа (слева) в точке
если
(
)
Def3. В изолированной точке области определения функция считается непрерывной, непрерывной справа и непрерывной слева.
Def Функция f (x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Def.
Функция f (x)
непрерывна на [a,b],
если она непрерывна
и непрерывна справа в т. x
= a, непрерывна слева
в т. х = b.
Def . Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка всюду, исключая конечное число точек этого промежутка.
§ Классификация точек разрыва
Условие
непрерывности функции f
(x) в т.
.
При
нарушении этого условия в т.
,
функция f (x)
имеет разрыв.
Разрывы бывают
Разрывы
1-го рода (когда пределы справа и слева
функции f (x)
в т.
существуют и конечны).
1.
устранимый разрыв первого рода.
2.
разрыв первого рода типа
скачок.
Разрывы 2-го рода (по крайней мере, один из односторонних пределов равен ∞ или не существует).
1.
или
равен ∞ бесконечный разрыв
2-го рода.
1.
или
не существует разрыв 2-го рода.
Примеры:
1. y = sgn x при x = 0 разрыв 1-го рода типа скачок
величина
скачка:
.
2. y = |sgn x| при x = 0 устранимый разрыв 1-го рода.
3.
при x
= 0 устранимый разрыв 1-го рода.
4.
наибольшее целое на превосходящее
х – целая часть х.
В целочисленных точках – непрерывность справа, разрывы 1-го рода типа скачок слева.
5.
разрыв 2-го рода в
т. х = 0.
6.
при x
= 0 устранимый разрыв 1-го рода.
7.
функция непрерывна.
8.
при x
= 0 бесконечный разрыв 2-го рода.
9.
y = arctg
при x
= 0 разрыв 1-го рода типа скачок.
10.
Функция Дирихле: y =
D(x)
=
разрывна в любой точке.
11. y = xD(x) непрерывна только в одной точке х = 0.