- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
§. Теорема Абеля.
Поиски формул для решения уравнений пятой и более высоких степеней безуспешно продолжались до начала девятнадцатого века когда была, наконец, доказана следующая замечательная теорема
Т. Абеля: Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше четвертой не разрешимо в радикалах т.е. не существует формул, выражающих его корни через коэффициенты с помощью радикалов.
Более того, для любой степени не меньшей пяти можно указать уравнение с целыми коэффициентами, корни которого никак не выражаются через радикалы, сколь угодно многоэтажные, если в подрадикальных выражениях используются лишь целые и рациональные числа. Таково, например, уравнение . Можно доказать, что это уравнение имеет три вещественных и два комплексных корня, но уравнение неразрешимо в радикалах. Таким образом, запас чисел, вещественных или комплексных, которые служат корнями уравнений с целыми коэффициентами ( такие числа называются алгебраическими в противоположность числам трансцендентным, которые не являются корнями никаких уравнений с целыми коэффициентами), много шире запаса чисел, записываемых через радикалы.
Теория алгебраических чисел является важной ветвью алгебры. Доказательство невозможности разрешения в радикалах уравнений степени выше четвертой найдено Абелем (1802 – 1829). Существование не разрешимых в радикалах уравнений с целыми коэффициентами установил Галуа (1811 – 1832). Он также нашел условия, при которых уравнение может быть решено в радикалах. Все эти результаты потребовали создания новой глубокой теории, а именно теории групп. Понятие группы позволило исчерпать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах, а позже оно нашло многочисленные применения в различных разделах математики и физики а также за их пределами и стало одним из важнейших объектов изучения в алгебре.
Отсутствие формул для решения уравнений степени выше четвертой не вызывает серьезных затруднений, если говорить о поиске корней таких уравнений. Оно полностью компенсируется многочисленными методами приближенного решения уравнений, которые даже для кубических уравнений ведут к цели гораздо быстрее, чем применение формул (там, где они вообще применимы) и последующее приближенное извлечение радикалов.
§. Еще о функциях комплексного переменного.
1. Линейная функция ; .
Если записать a в показательной форме то: – поворот на угол ,
гомотетия с коэффициентом k и центром в начале координат, – сдвиг плоскости на вектор b.
Таким образом, линейная функция осуществляет поворот комплексной плоскости z с растяжением (сжатием) и последующим параллельным переносом. Линейная функция задает взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и комплексной плоскостью w . При этом она преобразует прямые в прямые, сохраняя угол между ними и окружности в окружности, т.е. осуществляет конформное отображение комплексной плоскости z в комплексную плоскость w.
2. Степенная функция ; .
Записав z в показательной форме: получим .
При этом окружности радиусом k отображаются в окружности радиуса , а лучи исходящие из начала координат и образующие угол с осью абсцисс переходят в лучи из начала координат и образующие угол с осью абсцисс.
Таким образом: сектор в плоскости z переходит во всю плоскость , сектор в плоскости z также переходит во всю плоскость и т.д. Следовательно, геометрический образ плоскости z при отображении представляет собой плоскость , повторенную n раз.
Из сказанного выше следует, что отображение не осуществляет взаимно однозначного отображения между плоскостью z и плоскостью . Однако, если в качестве геометриче-ского образа функции рассматривать более сложное многообразие, чем обычную комплексную плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.
Будем считать, что мы имеем n экземпляров (листов) плоскости , разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых изменяется в пределах . Сектору плоскости z функция ставит в соответствие k-й лист плоскости ; луч переходит в верхний берег разреза k-го листа, а луч – в нижний берег разреза этого же k-го листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало непрерывное точки на данном многообразии (смотри рисунок). Для этого заметим, что нижний берег разреза k-го листа и верхний берег разреза -го листа имеют один и тот же аргумент . Когда точка z в своем непрерывном движении по плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка переходит с одного листа плоскости на следующий лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза k-го листа с верхним берегом разреза -го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го листа и нижний берег разреза -го листа. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки , последовательно пройдя все секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка пройдет листов и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставшиеся свободными берега разрезов на 1-ом и -ом листах. Тем самым полной плоскости z функция ставит в соответствие листов плоскости , склеенных указанным выше способом. Такое геометрическое многообразие представляет собой -листную риманову поверхность, а функция является -листной функцией. Функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и
-листной римановой поверхностью.
3. Корень натуральной степени .
; .
Функция является многозначной и осуществляет взаимно однозначное соответствие между -листной римановой поверхностью и комплексной плоскостью z. При этом k-й лист римановой поверхности переходит в сектор плоскости z.
4. Показательная функция (экспонента): ;
Основное свойство показательной функции . Тогда
.
Для вещественных значений значения показательной функции комплексного аргумента совпадают со значением вещественной показательной функции вещественного аргумента.
Функция периодична с чисто мнимым периодом : .
Тогда: .
Взаимная однозначность отображения достигается, если ограничиться, скажем, полосой .
Горизонтальная прямая при отображении переходит в луч , в частности, действительная прямая y=0 (как и всякая прямая ) переходит в вещественную положительную полупрямую ,а прямая – в вещественную отрицательную полупрямую. Значит, полоса в плоскости z переходит во всю плоскость w. Полоса в плоскости z также переходит во всю плоскость w.
Отрезки () отображаются на окружности , в частности отрезок мнимой оси переходит в единичную окружность .
Полуполоса , отображается на внешность единичного круга .
Полуполоса , отображается на внутренность единичного круга .
Полоса отображается на верхнюю полуплоскость , полоса – на нижнюю полуплоскость.
Из выше сказанного заключаем, что геометрический образ плоскости z при отображении представляет собой плоскость , повторенную бесконечное число раз.
Тем самым полной плоскости z функция ставит в соответствие бесконечное число листов плоскости , склеенных способом, аналогичным тому который применялся для степенной функции, за исключением того, что теперь этих листом бесконечно много как снизу, так и сверху.
Такое геометрическое многообразие представляет собой бесконечно листную риманову поверхность, а функция является бесконечно листной функцией. Функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и бесконечно листной римановой поверхностью.
5. Логарифмическая функция: ;
Логарифмическая функция является функцией обратной показательной функцией и, поэтому, является функцией многозначной: ; .
Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между бесконечно листной римановой поверхностью и плоскостью w, при этом каждый лист римановой поверхности переходит в горизонтальную полосу .