Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка

В процессе познания в сознании человека формируются образы изучаемых объектов и явлений, классифицируя которые по тем или иным признакам, он концентрирует имеющиеся сведения в абстрактных понятиях. Это позволяет получать утраченную или существенно новую детальную информацию о том, что изучается, путем рассуждений, которые проявляются как определенные языковые манипуляции.

Логика – это анализ методов рассуждения, призванный выяснить как следует рассуждать, чтобы делать правильные выводы. Математическая логика – это логика, использующая математические методы и направленная на наиболее удобные для анализа математические рассуждения. Чтобы сделать объект исследования более обозримым, а само исследование более эффективным, обычно, хотя бы для начала, в математической логике сосредотачиваются на анализе рассуждений в теории множеств, используя для этого тот или иной надежно установленный и достаточно ясно сформулированный фрагмент этой теории. Задача – минимум – создание непротиворечивой аксиоматической теории множеств, адекватной существующим полуформальным представлением о бесконечных множествах – идеальных элементах, введение которых существенно упрощает математические рассуждения с непосредственными практическими приложениями.

Математическая логика выделяет в рассуждении три аспекта:

1) формальный или синтаксический, изучаемый посредством создания идеализированного формального языка или, что то же самое, - аксиоматической теории;

2) семантический или содержательный, который исследуется путем теоретико-множественных интерпретаций формального языка и основанного на этом понятии истины;

3) алгоритмический или рецептурный, изучаемый путем использования того или иного представительного класса словарных алгоритмов, напр., основанного на понятии машины Тьюринга (Turing A )

Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык

Formal Language (axiomatic theory) and metalanguage

Формальна мова (аксіоматична теорія) та метамова.

Создание формального языка необходимо, чтобы избавиться от смысловых и структурных неопределенностей, характерных для обычного языка и присущих ему вследствие его универсальности, связанной с этим избыточности выразительных средств, проявляющейся, в частности, в существовании большого числа синонимов со слабо различающимся смыслом, важности контекста, интонации, жестикуляции, намеков. Эта задача решается благодаря узконаправленности формального языка на теорию множеств.

Формальный язык (теория) задан, если указаны его алфавит (совокупность нерасчленимых символов или знаков), правила построения выражений (конечных последовательностей символов, допускающих стандартную содержательную интерпретацию), совокупность аксиом (содержательно – истин, принимаемых как таковые без доказательства) и правила вывода (рецепты переработки одних истин в другие). Все это, конечно, есть и в обычном языке, но в формальном доведены до абсолюта четность формулировок и строгость соблюдения правил.

Формальный язык может развиваться безотносительно к какой-либо содержательной интерпретации и связанного с ней понятия истины. Конечно, только в весьма рафинированных исследованиях можно полностью исключить содержательный аспект.

Важно, что обычно исследователь знает или, скорее, умеет больше, чем в состоянии формализовать в данный момент. Поэтому формальная теория – это способ определенно высказаться, когда это возможно, об определенном завершенном фрагменте содержательной теории, выделить в последней бесспорное, поставить и на определенном уровне решить некоторые проблемы.

Мы вовсе не обязаны думать только формально. Более того, плодотворность качественных, неформальных, творческих рассуждений, в противовес чисто формальным, доказана извечной практикой, как общества в целом, так и каждого отдельного индивида. Но назначение формальных рассуждений, в общем, иное – служить творческому процессу опосредовано, путем создания надежной базы и упорядочения достигнутого. Образно говоря, в знаниях формальная логика играет роль скелета, который растет и развивается вместе с организмом и дает возможность нормально функционировать живой ткани.

Метаязык - это содержательный фрагмент обычного языка, которому можно придать особую ясность, благодаря его направленности на формальный. Часть метаязыка может быть формализована и изучаться вместе с формальным языком-объектом, как независимо, так и как составляющая надлежаще понимаемого языка-объекта.

В учебнике английского языка, написанном по-русски, английский- это язык-объект, а русский – метаязык. В учебнике русского языка, написанном по-русски, обе роли играет русский язык.

Метаязык позволяет отделить изучаемое от средств исследования, проводя различие между изучаемым формальным языком и языком исследователя, снимает ограничение снизу на уровень сложности языка-объекта, позволяя рассматривать языки, которые неспособны описывать сами себя, отодвигает проблемы, которые возникают при применении теории к самой себе, разделяя вещи и имена вещей в языковых исследованиях.

Промежуточное положение метаязыка в языковой триаде между обычным и формальным, отражено в его названии: греч.  – после, через, между.