§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
Рассмотрим
полином
,
.
1.
По основной теореме алгебры:
,
.
*.
По следствию из теоремы Безу:
причем старший коэффициент полинома
совпадает со старшим коэффициентом
полинома
.
2.
По основной теореме алгебры:
,
.
*.
По следствию из теоремы Безу:
.
…………
n) …………
Получили:
.
Учитывая
что, уравнение может иметь кратные корни
(
– кратность корня
),
получим разложение полинома на линейные
множители.
где
и
.
§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
Рассмотрим
,
(
и
)
и пусть
является корнем
многочлена. Тогда:
.
Т.е.
если число
является корнем уравнения n-й
степени с вещественными коэффи- циентами,
то
также является корнем того же многочлена.
Следствие: Уравнение нечетной степени с вещественным коэффициентом имеет хотя бы
один вещественный корень.
Следствие: Уравнение четной степени с вещественным коэффициентом может и не иметь
вещественных корней.
При
этом:
=
=
=
.
Итог:
Если
многочлен с вещественными коэффицциентами
(
,
)
То:
причем
,
,
.
Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами (причем квадратичные множители не имеют вещественных корней) называется разложением многочлена на неприводимые множители.
§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
I.
.
1)
– нет решений;
2)
,
– бесконечно много решений;
3)
,
– единственное решение.
II.
,
(
)
.
III.
,
(
).
Перейдем к приведенному кубическому
уравнению:
,
и произведем замену неизвесной:
.
тогда:
;
;
,
.
Подставляя полученные выражения в уравнение, получим:
.
Получается неполное кубическое уравнение, в котором
;
.
Решение
получившегося неполного кубического
уравнения ищем в виде:
.
Тогда
И,
следовательно:
.
Положив
,
получим систему уравнений
.
т.е.
и
являются корнями квадратного уравнения
.
Решая это уравнение, найдем
;
.
Полученные
три значении
и три значения
не могут суммироваться в произвольных
сочетаниях. Они должны удовлетворять
соотношению
.
Оказывается, есть ровно три пары
и
,
удовлетворяющих этому соотношению.
Отсюда
,
Найдены три корня кубического уравнения.
.
Это и есть формулы Кардано для нахождения корней кубического уравнения.
Пример
1. Решить уравнение
.
Полагая
,
получим неполное кубическое уравнение
.
К этому уравнению можно применить
формулы Кардано. Здесь
,
поэтому
.
Одним
из значений этого кубического корня
будет число 3. Произведение этого значения
на соответствующее ему значение другого
кубического корня, входящего в формулу,
должно равняться числу
,
т.е. в нашем случае равняться числу
(–3). Искомым значением второго корня
будет, следовательно, число (–1) и поэтому
.
Разделив неполное уравнение на (
)
, получим квадратное уравнение с корнями
.
Тогда
корнями исходного кубического уравнения
будут:
.
Пример
2. Решить уравнение
.
Здесь
.
Тогда:
.
Корнями
данного кубического уравнения будут
.
Решение этого уравнения показывает, что далеко не всегда корни кубического уравнения (даже если они вполне благополучные) удается найти так просто, как хотелось бы.
-
Рассматриваем уравнение четвертой степени:
,
.
Мы приведем решение, полученное Феррари.
Приведенное
уравнение имеет вид:
.
Осуществляя
замену переменной:
;
,
получим неполное уравнение четвертой
степени:
.
Запишем
уравнение в виде:
.
Введем
параметр
так, чтобы:
.
Потребуем
, чтобы
было полным квадратом, тогда идея
состоит в том, чтобы представить полученное уравнение в виде разности квадратов
, с последующим
разложением его в произведение
и решением получившихся квадратных
уравнений.
Для реализации этой идеи дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.
.
Тогда
.
и
для нахождения
имеем кубическое уравнение:
.
При
этом, если
;
и если
;
т.е. уравнение обязательно имеет положительный корень.