§. Формула и Многочлен Тейлора
Пусть f (x) – n-кратно дифференцируема в т. х0. Полиномом Тейлора этой функции называется
.
Все производные Pn (f, x0; x) от нулевой до n-ной совпадают с соответствующей функцией f (x). Разность между функцией f (x) и ее полиномом Тейлора называется остаточным членом формулы Тейлора
Rn (f, x0; x) f (x) – Pn (f, x0; x) ,
А представление f (x) Pn (f, x0; x) + Rn (f, x0; x) называется формулой Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x0. При этом все производные остаточного члена
Rn (f, x0; x) от нулевой до n-ной равны 0 в т. х0.
§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Записывая в формуле Тейлора, вместо остаточного члена, его выражение, полученное Пеано, получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано дает возможность положительно ответить на вопрос, будет ли уменьшаться остаточный член формулы Тейлора с увеличением степени полинома Тейлора.
Однако остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано не дает возможности количественно оценить ошибку замены функции полиномом Тейлора.
§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
Для
функции f (x)
n раз дифференцируемой
на промежутке с концами х и х0
и (n+1) раз дифференцируемой
внутри него и для любой функции
заданной на промежутке с концами х
и х0, дифференцируемой внутри
него, имеющей ненулевую производную
(
) имеет место формула:
.
В этой формуле = х0 + (х – х0), 0 < < 1, |x – x0| > | – x0| > 0.
Рассмотрим
.
=
=
. Во второй сумме положим k
= l + 1.
=
=
.
Тогда по формуле Коши получаем:
.
Учитывая,
что
,
получаем:
.
▲
Получен остаточный член в форме Шлёмильха – Роша.
§ Остаточный член в форме Лагранжа
В остаточном члене в форме Шлёмильха – Роша положим (t) = (x - t)n+1;
Тогда
= – (n + 1)(x
- t)n
. Причем (x)
= 0, (x0)
= (x – x0)n+1.
Получаем
,
где
,
0 <
< 1.
Получен остаточный член ряда Тейлора членом в форме Лагранжа.
§ Остаточный член в форме Коши
Полагая
(t)
= x – t
и учитывая, что (x0)
= x – x0,
(x)
= 0,
получим
остаточный член ряда Тейлора членом в форме Коши:
,
где = x0
+ (x
– x0) , 0 <
< 1.
§ Теорема единственности
Т˚.
Разложение функции в ряд Тейлора в
окрестности заданной точки х0
единственно с точностью до порядка
следования слагаемых, т.е. в асимптотическом
разложении функции f
(x) по системе степенных
функций
:
при
х х0
коэффициенты
Сk находятся
однозначно и, при этом
.
§ Формула Тейлора для f (x) в терминах дифференциалов
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
,
где
,
может быть записана в терминах
дифференциалов:
.
§ Пять замечательных разложений функций в ряд Тейлора
в окрестности точки x0 = 0.
Разложения функций в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 называются разложениями в ряды Маклорена.
Множество
значений х при которых ряд сходится
называется областью сходимости ряда.
Степенной ряд вида
сходится в интервале
и R называется радиусом
сходимости степенного ряда. В точках
и
ряд может, как сходиться, так и расходиться.
Радиус сходимости степенного ряда может
быть найден по формулам:
(формула Даламбера) или
(формула Коши). По другому область
сходимости ряда может быть установлена
при оценке остаточного члена.
Более подробные сведения о рядах будут рассматриваться в последующем курсе.
Ниже следующие разложения получены по общей формуле разложения функции в ряд Тейлора.
1.
(x0
= 0);
Оценим остаточный член, записав его в форме Лагранжа:
.
Из оценки следует, что при любом фиксированном х и n стремящемся к бесконечности остаточный член стремится к нулю, т.е. ряд сходится для любых х.
Тот же результат может быть получен из формулы Даламбера:
.
Область сходимости ряда х (–; +).
2.
,
(x0 = 0).
Оценка для остаточного члена:
.
Область сходимости ряда х (–; +)
3.
,
(x0 = 0).
Оценка остаточного члена:
.
Область сходимости ряда х (–; +).
4.
,
(x0 = 0).
Оценка остаточного члена:
.
Если
х = 1, то получается ряд
,
который сходится по признаку Лейбница.
Область сходимости ряда х (-1, 1].
5.
,
(x0 =
0).
Для остаточного члена получаем:
=
=
.
Область сходимости:
1) N, x (–; +); 2) > 0, x [–1; 1] ;
3) (–1, 0), x (–1; 1] ; 4) Общ. случай x (–1; 1).