Перейти к оглавлению на странице: 256

Пример 2.1. Рассмотрим цилиндрическую систему коор-

динат. Так как она ортогональна, то получаем:

и из формулы (2.2) получаем следующие выражения для проекций ускорения на оси цилиндрической системы координат:

Упражнение 2.1. Найти выражения для скорости и ускоре-

ния точки в обобщенных сферических координатах u, v, w, задаваемых формулами:

при

0 6 u < ∞, 0 6 v < 2π, 0 6 w < π, a, b, c, > 0, a 6= b. (2.15)

§3. Описание движения точки в естественных координатах

В отличие от криволинейных координат, которые определяются в каких-то областях D Rn при n = 1, 2, 3, естественная система координат определяется на траектории движения точки. В этих координатах скорость и ускорение точки имеют понятную геометрическую интерпретацию и простые формулы для соответствующих проекций на оси координат.

Будем предполагать, что траектория движения точки задана параметрически вектор-функцией ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) на некотором промежутке J R времени t.

24

Перейти к оглавлению на1 странице: 256

нормальная плоскость спрямляющая плоскость

Пусть a, b J, a < b, а A = (x(a), y(a), z(a)) , B = (x(b), y(b), z(b)) начало и конец участка траектории AB , соответствующего движению точки (рис. 3.1). Будем предполагать, что на этом участке (то есть при t [a, b] ) функция ~r(t) непрерывно дифференцируема k раз (обычно предполагают, что k = 2), причем выполнено условие

Как известно, при сделанных предположениях, в каждой точке ~r(t) участка AB (который мы будем далее называть регулярным участком траектории) траектория имеет касательную, совпадающую по направлению с вектором скорости ~v = ~r˙(t). Пусть a < t < t + t < b и используются обозначения:

M1 = (x(t), y(t), z(t)) , M2 = (x(t + t), y(t + t), z(t + t)) ,

25

Упражнение 3.1. Пусть выполнено условие:

_

(а) никакая часть дуги AB не является прямолинейной. Показать, что в этом случае плоскость Π(M1,~v1, ~v), проходящая через точку M1 и параллельная векторам ~v1,~v2 , имеет предельное положение при t → 0, то есть имеет предел при ~v → 0 единичный вектор нормали, определяющий направление этой плоскости (эту предельную плоскость называют соприкасающейся).

Далее условие (а) будем считать выполненным, если не оговорено противное. В случае, если условие (а) не выполнено, движение точки на прямолинейных участках естественно рассматривать отдельно.

Теперь введем в рассмотрение ортогональный базис тройку

~

(~τ, ~n, b) единичных взаимно-ортогональных векторов (ортов), исходящих из точки M1 , это ~τ = ~v/v орт касательной, ~n орт нормали, определяемый как единичный вектор, ортогональный вектору ~τ , лежащий в соприкасающейся плоскости и ориентированный

~ ×

в направлении вогнутости кривой в точке M1 , и, наконец, b = ~τ ~nорт бинормали.

Таким образом, с каждой парой (t, ~r(t)) мы связали базис его называют естественным базисом (а также естественной системой координат, натуральным базисом и т.п.).

Отметим, что одна и та же точка M траектории может соответствовать нескольким моментам времени в том смысле, что:

M = x(t1), y(t1), z(t1) = x(t2), y(t2), z(t2) = . . .

Натуральные системы, отвечающие парам (ti, ~r(ti)), i = 1, 2, . . ., могут быть различными. Тем самым может оказаться, что точке M пространства, через которую проходит траектория, будет сопоставлено несколько различных базисов. В этой связи напомним, что при введении криволинейных координат мы сопоставляли каждой точке ~r = (x, y, z) некоторой области D пространства Rn, n = 1, 2, 3 единственный базис.

Упражнение 3.2.

26

Перейти к оглавлению на странице: 256

1. Пусть пространственная кривая задана параметрически через движение ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Получите фор-

Разложение скорости по осям естественной системы координат очевидно: ~v = v~τ . В оставшейся части настоящего параграфа мы

то вектор d~τ/dt ортогонален вектору ~τ , а точнее направлен по вектору ~n.

ускорениями (бинормальное ускорение wbb равно нулю). Величина wn может быть выражена через радиус кривизны траектории. Для того, чтобы получить это полезное в приложениях выражение, мы введем последовательно понятия естественной координаты, угла смежности, кривизны и радиуса кривизны.

Пусть t0 фиксированный момент времени, а t текущий момент, причем a < t0 < t < b. Одно из определений длины дуги

27

Перейти к оглавлению на странице: 256

s = s(t) траектории от точки ~r(t0) до точки ~r(t) следующее:

Этими формулами мы будем пользоваться. Естественной координатой называют длину дуги s(t), отсчитываемую в сторону движения от некоторой точки (выше мы назвали эту точку символом ~r(t0)). Из равенств (3.7) и (3.6) соответственно получаем следующие формулы:

отсчитываемый от первого вектора ко второму.

Можно показать, что на регулярном участке траектории су-

называемая кривизной траектории в точке ~r(t). Величину % = K−1 называют радиусом кривизны траектории в этой точке (для прямолинейных участков траектории радиус кривизны равен, по определению, +∞).

28