Перейти к оглавлению на странице: 256

Из (2.11) следует, что столбцы матрицы (∂xν/∂qp) линейно зависимы, а тогда ее ранг должен быть меньше s, в то время, как в конце §1 главы 9 мы доказали, что он равен s. Что и требовалось.

§3. Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода

Как мы установили в §1, уравнения Лагранжа (1.1) можно переписать в виде (1.4) в случае, если все силы, действующие на точки механической системы, имеют потенциал. В этом случае мы воспользовались формулой (1.2) (см. (4.12) главы 9) и ввели функцию Лагранжа L по формуле (1.3), что и позволило нам перейти от (1.1) к (1.4). Этот результат можно усилить, введя понятие обобщенного потенциала так называют функцию U обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, связанную с обобщенными силами

(см. (4.10) главы 9) равенствами:

если такая функция существует.

Складывая эти уравнения с уравнениями (1.1) при каждом i [1 : s], получаем уравнения того же вида, что и (1.4):

где L = T + U , а U обобщенный потенциал. Уравнения (3.2) будем называть уравнениями Лагранжа II рода для случая обобщенного потенциала.

Если обобщенный потенциал не зависит явно от обобщенных скоростей, то он является обычным потенциалом. Если обобщенный потенциал зависит от обобщенных скоростей линейно, то квадратичная по обобщенным скоростям часть функции совпадает с квадратичной по обобщенным скоростям частью кинетической энергии, поэтому в этом случае доказательство разрешимости уравнений

149

Перейти к оглавлению на странице: 256

Лагранжа (1.4) относительно обобщенных ускорений подходит и для уравнений (3.2).

Пример 3.1. В §4 главы 6 мы рассмотрели (в качестве од-

движущуюся со скоростью ~v в электромагнитном поле, ха-

~ ~

рактеризуемом напряженностями E и H электрического и магнитного полей соответственно. Кроме того, в теории поля принимается (см. [12]), что

~

где Φ и A = (Ax, Ay, Az) скалярная и векторная функции координат x, y, z точки и времени t. Можно показать, что сила Лоренца имеет обобщенный потенциал (см.[10], §11 главы 2):

Упражнение 3.1. Проверьте, что функция (3.4) действи-

тельно удовлетворяет условию (3.1).

§4. Уравнения Лагранжа I рода и реакции идеальных связей

Пусть механическая система состоит из N материальных точек. Введем обозначения:

x3j−2, x3j−1, x3j – координаты j -ой точки;

X3j−2, X3j−1, X3j – проекции главного вектора внутренних и внешних активных сил действующих на j -ую точку;

R3j−2, R3j−1, R3j – проекции главного вектора реакций связей, действующих на j -ую точку;

m3j−2 = m3j−1 = m3j – масса j -ой точки.

150

Перейти к оглавлению на странице: 256

В этих обозначениях уравнения Ньютона (3.1) главы 9 имеют

вид:

Предположим, что движение системы ограничено следующими независимыми связями

где apj и ap функции аргументов x = (x1, . . . , x3N ) и t. Отметим, что равенства (4.1), (4.2), (4.3) образуют систему 3N + k + r уравнений относительно 6N неизвестных xj , Rj .

Предположим, что все связи идеальные. Тогда мы можем воспользоваться общим уравнением механики (3.2) главы 9. В принятых обозначениях оно имеет вид:

X3N

(mjx¨j − Xj) δxj = 0. (4.4)

j=1

Вариации δxj не являются независимыми, голономные связи налагают на них следующие условия:

Упражнение 4.1. Доказать, что неголономные связи на-

кладывают на вариации δxj следующие условия:

Из уравнений (4.5) и (4.6) k+r вариаций δxj можно выразить через остальные 3N −k−r, которые можно считать независимыми.

После подстановки выражений зависимых вариаций через независимые в уравнение (4.4) оно становится линейной комбинацией независимых вариаций. Приравнивая нулю последовательно

151

Перейти к оглавлению на странице: 256

все независимые вариации, кроме одной, получим уравнения движения.

Такой способ использования общего уравнения механики для получения уравнения движения механической системы со связями является естественным и применяется как в теории, так и при решении практических задач. С другой стороны, в общем случае исключение зависимых вариаций можно выполнять более удобным способом – методом множителей Лагранжа.

Введем в рассмотрение k + r дополнительных переменных λ1, . . . , λk , µ1, . . . , µr функций времени t (множители Лагранжа).

Умножая i-ое уравнение (4.5) при i = 1, . . . , k на λi и p-ое уравнение (4.6) на µp при p = 1, . . . , r и вычитая все k + r полученных равенств из уравнения (4.4) получаем уравнение:

Выберем k + r величин λ1, . . . , λk, µ1, . . . , µr так, чтобы множители при k + r зависимых вариациях δxj обратились в ноль. Тогда и множители при остальных независимых вариациях также должны быть равны нулю.

Так мы получим 3N уравнений

эти равенства определяют реакции связей при условии их идеальности.

152

Перейти к оглавлению на странице: 256

Полученные уравнения не самые удобные для определения величин x1, . . . , x3N , их основная ценность в том, что если величины x1, . . . , x3N уже найдены (при помощи каких-либо других средств), то с помощью уравнений Лагранжа первого рода легко определяются реакции идеальных связей.

153