Перейти к оглавлению на странице: 256

76.Интегральный принцип наименьшего действия при изоэнергетическом варьировании.

§2. Тесты

1.Два репера аффинного пространства связаны матрицей A. Какое из условий (а),(б),(в) является необходимым и достаточным для того, чтобы эти базисы были одинаково ориентированы?

(а) A−1 ,

(б) det A > 0,

(в)det A < 0.

2.Ортонормальный репер жестко связан с движущимся в аффинном пространстве твердым телом. Два положения этого репера, соответствующие некоторым двум положениям тела, связаны матрицей A. Какое из утверждений (а),(б),(в) является истинным?

(а) det A = −1,

(б) det A = 0,

(в)det A = +1.

3.Какой из вариантов реперов (а),(б),(в) имеет ту же ориента-

4.Пусть J матрица Якоби отображения, задающего криволинейную систему координат в R3 . Какое из условий (а),(б),(в) обеспечивает линейную независимость векторов, образующих локальные базисы этой криволинейной системы координат?

(а)det J > 0,

223

Перейти к оглавлению на странице: 256

(б) det J = 0,

(в)det J 6 0.

5.Как изменятся направление нормали и ориентация натурального базиса, если точка будет двигаться по той же траектории

вобратном направлении?

(а) не изменятся,

(б) изменятся на противоположные,

(в)изменится только ориентация базиса.

6.Как изменятся направления нормали и бинормали натурального базиса, если точка будет двигаться по той же траектории

вобратном направлении?

(а) не изменятся,

(б) изменятся на противоположные,

(в)изменится только направление бинормали.

7.Какой из наборов (а),(б),(в) координатных кривых, проходящих через точку M пространства R3 соответствует цилиндрической системе координат?

(а) луч прямой,окружность,прямая,

(б) луч прямой,окружность,окружность,

(в)прямая, прямая, прямая.

8.Декартовы координаты x, y, z точек связаны с их криволинейными координатами ξ, η, ζ формулами x = ξ2, y = 2η2, z = −3ζ2 . Частями каких кривых являются координатные линии соответствующей криволинейной системы координат?

(а) прямых,

(б) эллипсов,

(в) гипербол.

224

Перейти к оглавлению на странице: 256

9. Декартовы координаты x, y, z точек относительно репера

~ ~ ~

(O, i, j, k) связаны с их криволинейными координатами ξ, η, ζ

при ξ > 0, η > 0, ζ < 0 формулами x = ξ2, y = η2, z = −ζ2 . Какая из троек (а),(б),(в) является локальным базисом соответствующей криволинейной системы координат?

(в) (−i, −j, k).

~~ ~

10.В репере (O, i, j, k) точка имеет координаты (1, 2, 3). Какие у

(в)(2, 6, 3).

11.Движение точки относительно декартовой системы Oxyz

постоянные, а t R время. Чему равна величина ее ускорения?

p

(а)a1c21x2 + a2c22y2 + 4c23 ,

p

(б)c41x2 + c42y2 + 4c23 ,

p

(в)c1x2 + c2y2 + 4c23 .

12.Движение точки относительно декартовой системы Oxyz

определяется формулами x = a sin bt + c, y = a cos bt − d, z = −1, где a > 0, b > 0, c, d вещественные постоянные, а t R время. Чему равна кривизна ее траектории?

(а) 1/a,

(б) b/a,

(в)1/b.

13.Какова траектория точки, если ее радиус-вектор ~r = ~r(t) удо-

225

Перейти к оглавлению на странице: 256

(а)луч прямой,

(б) прямая,

(в) точка.

14.Точка O0 движущегося поступательно твердого тела описала

окружность с центром в неподвижной точке O . Какой при этом путь по сравнению с точкой O0 прошла точка M тела, находившаяся в начальный момент вне этой окружности?

(а)меньший,

(б) такой же,

(в) больший.

15. Твердое тело равносторонний треугольник ABC движется в проходящей через его три вершины неподвижной плоско-

16. Плоский диск катится по прямой. Каково уравнение кривой на диске, все точки которой имеют одинаковую по величине скорость?

(а) отрезки параболы с центром в точке касания,

(б) отрезки окружности с центром в точке касания,

(в)отрезки эллипса с центром в центре диска.

17.Центр катящегося по прямой диска движется равномерно. По некоторому диаметру этого диска движется точка с постоянной по величине скоростью (со сменой направления движения на концах диаметра). Чему должно быть равно отношение величины скорости центра диска к величине скорости точки по диаметру, чтобы после полного оборота диска точка прошла полный диаметр?

226

Перейти к оглавлению на странице: 256

(а)1/π ,

(б) 1,

(в) π .

18.Центр катящегося по дороге (не обязательно прямолинейной) колеса движется с постоянной по величине скоростью. По некоторому диаметру этого колеса движется точка также с постоянной по величине скоростью (со сменой направления движения на концах диаметра). Чему должно быть равно отношение величины скорости центра колеса к величине скорости точки по диаметру, чтобы после k полных оборотов колеса точка прошла путь равный m диаметров?

(а)mπ/k ,

(б) k/m,

(в)kπ/m.

19.Центр твердого тела–шара движется с угловой скоростью ω~ по окружности так, что ближайшей к центру этой окружности точкой тела всегда остается точка W . Чему равна проекция угловой скорости твердого тела на вектор ω~ ?

(а) − ω~ ,

→−

(б) 0 ,

(в)ω~ .

20.Три не лежащие на одной прямой положения точки, движущейся в центральном силовом поле в трехмерном пространстве, определяются своими радиус-векторами ~r1 ,~r2 ,~r3 . Какому из условий удовлетворяет радиус-вектор любого положения ~r этой точки?

227

Перейти к оглавлению на странице: 256

21. Материальная точка массы m движется под действием посто-

~

янной силы F . Ее положения в моменты t = 0 и t = 1 определяются своими радиус-векторами ~r0 ,~r1 . Чему равен радиусвектор ее положения при t = 2?

22.Материальные точки с массами m1, ..., mN движутся все с одним и тем же постоянным ускорением w~, а радиус-вектор

(в)~rc(t) = 12 t2 w~.

23.Как связаны между собой утверждения, что силовое поле потенциальное и что оно центральное?

(а)центральное поле потенциально,

(б) потенциальное поле центрально,

(в) никак не связаны.

24.Как связаны между собой теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы и теорема

одвижении ее центра масс?

(а)это две формулировки одного и того же утверждения,

(б) из первой следует вторая, но не наоборот,

(в) из второй следует первая, но не наоборот.

25.Какое число независимых первых интегралов можно получить как следствие теорем об изменении количества движения, момента количества движения и кинетической энергии механической системы из n > 2 материальных точек, движущихся под действием взаимного притяжения по закону Ньютона?

228

Перейти к оглавлению на странице: 256

(а)7,

(б) 9,

(в) 10.

26.Как зависят уравнения Лагранжа II рода от обобщенных ускорений?

(а)линейно,

(б) квадратично,

(в)не зависит.

27.Какое из преобразований приводит систему уравнений Лагранжа II рода к системе уравнений Гамильтона того же порядка?

(а)Галилея,

(б) Лежандра,

(в) Дирака.

28.Каким должно быть силовое поле, чтобы к уравнениям Лагранжа II рода можно было применить преобразование Лежандра?

(а)однородным,

(б) центральным,

(в)потенциальным.

29.На сколько единиц можно понизить порядок системы уравнений движения механической системы, если ее функция Лагранжа не зависит от k обобщенных координат?

(а) k − 1,

(б) k ,

(в)2k .

30.Какой механический смысл имеет функция Гамильтона H , не зависящая явно от времени?

229

Перейти к оглавлению на странице: 256

(а)H – интеграл механической энергии,

(б) H – потенциальная энергия,

(в) H – решение уравнения Гамильтона-Якоби.

31.Что позволяет найти теорема Якоби?

(а)общее решение уравнений Гамильтона,

(б) общее решение уравнения Гамильтона-Якоби,

(в)полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

32.Сколько степеней свободы в пространственном движении имеет система из четырех стержней, связанных в четырехугольник четырьмя сферическими шарнирами?

(а)6,

(б) 8,

(в) 10.

33.Почему в системе углов Эйлера ϕ (угол ротации), ψ (угол прецессии), θ (угол нутации) для последнего недопустимы значения 0 и π ?

(а)при этих значениях θ получается ϕ = ψ = 0,

(б) при этих значениях θ получается ϕ = ψ = π ,

(в)при этих значениях θ не определена линия узлов.

34.Какова траектория центра масс однородного шарового слоя, движущегося в центральном силовом поле Ньютона, если его радиус-вектор и скорость в начальный момент времени равны нулю?

(а) прямая,

(б) эллипс,

(в)точка.

35.Чему равна величина угловой скорости однородного шара, движущегося в центральном силовом поле Ньютона, если в начальный момент времени она равна 1?

230